A.方法综述
折叠问题（对称问题）在三大图形变换中是比较重要的，是近几年来中考出现频率较高的一类题型，折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180°，使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中"折"是过程，"叠"是结果．折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用.在初中数学中经常涉及到折叠的典型问题，只要从中抽象出基本图形的基本规律，就能找到解决这类问题的常规方法。
1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换，折叠重合部分一定全等．
2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系．
4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形
5、折叠问题中构造方程的方法：
(1)利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．
（2）寻找相似三角形，根据相似比得方程。
B.热点透视
类型1 通过构造方程求相关数量值
1．（2019春•睢宁县期中）如图，在矩形ABCD纸片中，AB＝6，AD＝8，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，则折痕EF的长为（ ）
A．19/2B．15/2C．8D．7
【解析】连接BE，过E作EG⊥BC于G，设AE＝x，则DE＝BE＝8﹣x，
3．（2019•滨江区一模）如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙，无重叠的四边形EFGH，设AB＝a，BC＝b，若AH＝1，则（ ）
类型2 动态折叠问题(难点)
这类问题往往涉及折叠动态变换过程中相关的作图，方可正确分类求解问题，应注意到：
①动折痕过定点，则对应点在圆上；②折痕为对应点连线的垂直平分线．常需要依据不变特征，分析转化，补全图形．综合问题中还会涉及折叠思想相关的构造，比如将动点折叠转化为动点运动轨迹的折叠
4．（2019•驻马店一模）如图，矩形4BCD中AB＝10，AD＝12，点E是线段BC上一动点，连接AE，将△ABE沿直线AE折叠，点B落到F处，连接CF，BF，当△BFC为等腰三角形时，BE的长为 ______．
5．（2019春•江阴市期中）如图，矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝5cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿线段AB向点B运动，连接DP，把∠A沿DP折叠，使点A落在点A′处．求出当△BPA′为直角三角形时，点P运动的时间．
【解析】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
分三种情况进行讨论，当A′、P、B分别为直角顶点时，求出AP的长即可．
（1）当∠B A′P＝90°时，由折叠得，∠P A′D＝∠A＝90°，
∴∠B A′D＝∠B A′P ∠P A′D＝180°，∴点B、A′、D在一直线上，
设AP＝xcm，∴A′P＝x，B P＝12﹣x，A′B＝13﹣5＝8，
∴Rt△A′PB中，有x² 8²＝（12﹣x）²，解之得：x＝10/3；
∴点P的运动时间为10/3÷1＝10/3s
（2）当∠A′P B＝90°时，∴∠A′P A＝90°，
又∵∠DA′P＝∠A＝90°，∴四边形APA′D是矩形，
由折叠的性质得，A′P＝AP，∴四边形APA′D是正方形，
∴AP＝AD＝5，∴点P的运动时间为5÷1＝5s；
（3）当∠A′B P＝90°时，不存在；
综上所述，符合要求的点P的运动时间为10/3s 或5s．
折叠问题是初中三大图形变换之一，厘清翻折前后图形的线段和角的数量关系是我们解题关键。找到变化前后哪些量未变，哪些量变了。借助于数学思想，观察图形的变化规律，应用数学模型来解决问题。
C．最新考题精炼
5．（2019•桐梓县模拟）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A，点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP，BH．
（1）求证：BP平分∠APH；
（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论．
6．（2019•河西区模拟）已知：矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点M、N分别在边AB、CD上，直线MN交矩形对角线AC于点E，将△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，且点P在射线CB上
（Ⅰ）如图①，当EP⊥BC时，①求证CE＝CN；②求CN的长；
（Ⅱ）请写出线段CP的长的取值范围，及当CP的长最大时MN的长．
练习参考答案
1.C 2.B 3.C 4. 9/2或9．
5.【解析】（1）由折叠的性质可得∠EPH＝∠EBC，EB＝EP，可得∠EBP＝∠EPB，即可证∠APB＝∠BPH＝∠PBC，可得结论；
（2）作BQ⊥PH，通过证明△APB≌△QPB和△BHQ≌△BHC，可得AP＝PQ，AB＝BQ，QH＝HC，即可求△PDH的周长等于8是定值．
6.【解析】（Ⅰ）①由翻折变换的性质得出△AME≌△PME，得出∠AEM＝∠PEM，AE＝PE，由矩形的性质得出∠B＝90°，AB∥CD，AB⊥BC，证出AB∥EP，由平行线的性质得出∠AME＝∠PEM，得出∠AEM＝∠AME，因此AM＝AE，由平行线得出AN/CN=AE/CE，即可得出结论∴CN＝CE；
②设CN＝CE＝x，由矩形的性质和勾股定理得出AC＝5，则PE＝AE＝5﹣x，由平行线得出EP/CE=AB=AC=4/5，求出x＝25/9即可；
（Ⅱ）由折叠的性质得AE＝PE，由三角形的三边关系得，PE CE＞PC，由AC＞PC，得出PC＜5，点E是AC中点时，PC最小为0，当点E和点C重合时，PC最大为AC＝5，即可得出CP的长的取值范围；当点C，N，E重合时，PC＝BC BP＝5，得出BP＝2，由折叠知，PM＝AM，在Rt△PBM中，PM＝4﹣BM，根据勾股定理得出方程，解方程求出BM＝3/2，在Rt△BCM中，根据勾股定理即可得出结果．当CP的长最大时MN的长为3√5/2．
