如此简单的数学小问题居然能……

如此简单的数学小问题居然能……

首页角色扮演放置天使更新时间:2024-04-16

数学,

你这个磨人的小妖精!

上次超模君介绍了世界7大数学难题,很多模友表示连题目都看不懂。

所以,超模君今天就搜集了一些比较简单有趣的数学问题。

说完这句话,我连我自己都不相信了。

天使问题

天使问题是由英国数学家约翰·何顿·康威(John Horton Conway)提出的一个博弈论问题,他在1982年出版的《Winning Ways》中描述了天使问题(the angel and the square-eater),现在通常被认为是天使和魔鬼的游戏

假设有一个无限大的方格棋盘,天使和恶魔就在上面玩游戏。

在游戏开始之前,天使停留在棋盘上的某一点(天使的起点),获得指定权力 K (正整数),即每一轮天使可移动的方格数。

在每一轮游戏中,恶魔都在棋盘上放置一个路障,当然,路障不可以放在天使的停留处。

有恶魔开始放置第一个路障,然后天使就沿着棋盘上的方格移动K格(纵、横、斜的相邻方格均可),移动过程可以穿过路障,但是停留处不可是路障处

天使再次停留后,恶魔就设置第二个路障。。。

如此进行下去,如果在某一轮,天使停留在恶魔设置的某一个路障所在的方格中,恶魔就获胜;如果天使能无限地继续游戏,则天使获胜。

给出游戏规则后,康威提出了天使问题:一个能够获得足够权力的天使能赢吗?

为了激励有人来解决这个问题,康威提供了这样一个奖励方案:

①对于一个足够高权力的天使的获胜策略,奖励100美元;②不论天使的权力如何,证明恶魔获胜的策略奖励1000美元。

而就在1982年,这个游戏设计者康威本人就证明了在以下两种情况下,恶魔有获胜的策略:

①当天使可移动的方格数 K = 1 时,恶魔有必胜策略;②如果天使永远不会降低其 Y 坐标,则恶魔有必胜策略。

到了1996年,康威又证明了:如果天使一直增加它到起始点的距离,则恶魔有必胜策略。

康威心心念念的天使获胜策略还是没有人能提出来。。。

直到2006年,有四位数学家几乎是同时独立发现了天使的必胜策略:

布莱恩·鲍德奇(Brian Bowditch)证明了当K=4时,天使有获胜策略;奥迪瓦·克洛斯特(Oddvar Kloster)和安德拉斯·马修(AndrásMáthé)证明了当K=2时,天使有获胜策略;彼特·伽克斯(PéterGács)的证明仅适用于更大的常数。

不过,超模君还无法得知康威将奖励给了谁。

Thrackle问题

Thrackle问题也是康威提出来的,被称为“康威的恐怖问题”。

在一个图中,只有一些点以及点与点之间的连线,如果每一根线条都与其他所有线条刚好只相交一次,这个图就被称为是“thrackle”。

下图就是满足要求的3个thrackle:

可以看出它们的一个特点:线条数都没超过顶点数。

而康威的Thrackle问题就是:是否存在线条数大于顶点数的thrackle

有趣的是,像上面介绍的天使问题一样,康威也悬赏了1000美元来征解。(动不动就悬赏

只不过,到目前为止,还没有人能找得到线条数大于顶点数的thrackle,而目前已知的最好的结果是,一个 thrackle 的线条数不会超过顶点数的167/117

下图就是线条数和顶点数相同的一个thrackle(6个点、6条线),而此时想要在两个点之间添加一条线,使得这条线与其他所有线只相交一次,是不可能的!(各位模友可以尝试一下)

吉尔布雷斯猜想

1958年的一天,美国数学家吉尔布雷斯(Norman L. Gilbreath)闲来无事,在餐巾纸上将一堆素数从小到大排成一行,然后又很无聊地将素数两两相减(相邻的两个素数,大的减去小的),得到第二行数,继续很无聊地减下去。。。

然后,见证奇迹的时刻到了!

吉尔布雷斯发现了一个规律:似乎从第二行开始,以后各行总是以1开头

由此,吉尔布雷斯猜测:不论这个过程进行多久,上述结论总是正确的。并在1958年的一个数学交流会上提出了这个猜想,即吉尔布雷斯猜想。

第二年,吉尔布雷斯的两个学生凯尔格洛夫(R.B.Killgrove)和拉尔斯顿(K.E.Ralston)通过验证第63419个素数之前的所有素数而支持了这个猜想。

1993 年,数学家安德鲁·奥利兹科(Andrew Odlyzko)对 10 000 000 000 000 以内的质数( 346 065 536 839 行)进行了检验,规律仍然遵循吉尔布雷斯猜想。

到目前为止,人们还没发现可以推翻吉尔布雷斯猜想的反例。

利克瑞尔数

在了解利克瑞尔数之前,我们先讲讲回文以及回文数。(palindrome number)

“回文”( palindrome)是古今中外都有的一种常见的修辞手法和文字游戏,是指“顺着读和反过来读都能读通的句子”,古人喜欢用这种方式来体现两种食物之间的联系,甚至是得到相矛盾的结果。

例子:①人人为我,我为人人。②《易经.系辞》:日往则月来,月往则日来。③英语中最著名的一个回文,是拿破仑被流放到Elba岛时说的一句话:Able was I ere I saw Elba.(在我看到Elba岛之前,我曾所向无敌。)

而在数学中,也存在具有这一特征的数字,即“正读反读都一样”的自然数,称为“回文数”,0是最小的回文数。

关于回文数的获取,有这样一个算法:

第一步:随机找一个十进制的数(如46),把它倒过来变成另一个数(64),再把这两个数相加(46 64=110),得到一个和数(110);第二步:将这个和数倒过来(011),再与原来的和数相加(011 110=121),又得到一个新的和数;按照这个步骤,一步步往下算,直到得到一个回文数为止。(例子中的121已经是一个回文数,如果接着算下去,还会得到更多的回文数。)

既然方法如此简单而且有趣,人们纷纷加入这个回文数的探索之旅。

不过,人们慢慢发现,并不是所有数都像上面所举的例子那样只需要2步或者几步就可以得到一个回文数,数字89的“回文数之路”就非常漫长,足足要经过24步才得到第一个回文数:8813200023188。

随着计算机的发展,人们已经开始通过编写程序来获得回文数。

然而,有这样一个神奇的数字:196,专家表示打死都得不到回文数,因为他们按照上面的步骤用计算机进行了数亿次的迭代,还是无法得到一个回文数,像这种数,就称为“利克瑞尔数”(Lychrel Number)。

而现在的推论,196只认为是第一个可能的利克瑞尔数,因为还没得到任何有力的证明。

超模君表示不会轻易。。。

马上动笔算了起来!

196 691=887

887 788=1675

1675 5761=7436

7436 6347=13783

。。。

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