第37回
灾后重建，无底洞村测地忙
引水入村，交叉路边转运站
话说补好了袈裟，师徒四人喝茶闲聊，唐僧回想当年被困无底洞时感慨万千，当时要不是无底洞村民们的大力支持和无私奉献，仅凭三个徒弟之力大家都恐难幸免于难。如今正是为了表示感恩，师徒四人才前后连夜赶来。
唐僧师徒对饱受鼠害疾苦的无底洞村民百姓除了表示同情关怀外，他们准备等明天做完法事后，大家一起到村中走一走，看看能为他们做些什么实事？
翌日做完法事后，刚刚还是天高云淡的蓝天突然间乌云密布，狂风大作，顷刻间倾盆大雨从天而降.
"难道是当年被天庭收走的老鼠精又来作怪不成？"八戒愤愤地说.
"呆子，如今哪有什么妖怪，这是自然现象，不足为奇."悟空说.
"是啊，要是真的还有妖怪的话，也早被师父的法术赶跑了."沙僧说.
"你们都别瞎说了。"唐僧道，"你们没看天气预报吗？说这几天无底洞地区将有特大暴雨，现在终于来了。"
暴雨持续了一天一夜，造成无底洞村到处是山体滑坡，河流改道，桥垮路塌，田园被毁无数.
暴雨过后，唐僧师徒带领村干部察看登记各家各户的损失，他们决定拿出部分资金对受灾村民们的补贴。
在勘察田地毁坏过程中，发现了如图1的等腰△ABC是吴老汉原来的菜地，被洪水沿腰AB的垂直平分线DE拦腰冲垮了大半，只剩下一小块含顶角的直角三角形ADE这一部分，工作
人员测得AD=20米，DE=15米，AE=25米.在计算冲垮部分菜地（即四边形BCED，E为AB垂直平分线与另一腰AC的交点）的面积时，大家都束手无策.
村主任把这个问题交给唐僧师徒，八戒看过后说道："留下的Rt△ADE的面积可以算，为AD·DE/2=150（平方米），原来菜地的腰长AB、AC也可以算，AC=AB=2AD=40(米)."
"二师兄，你尽说些简单没用的，人家要的是被冲掉的那块四边形BCED的面积。"沙僧嗔怪说.
"悟净，八戒说的这些不能说没有用。"唐僧说，"任何一个复杂问题的解决都是从简单的开始。悟空你帮他们算算吧。"
"好的师父。"悟空说，"要知道四边形BCED的面积，由于△ADE的面积八戒已经求得，所以只需要先求△ABC的面积。而要求△ABC的面积，需要知道底和高。由于八戒已经把腰求出来了，所以选择以腰作为底边，因此，需要再作腰上的高，然后求这条高就可以了."
"沙师弟，你还会说我求那些没用吗？"听了悟空的话后八戒显得有点飘飘然，然后转向悟空问道，"猴哥，腰有两条，是要作AB上的高还是AC上的高呢？"
"这……倒是个问题."悟空思考片刻后说，"首先考虑到E是AB垂直平分线上的点，为了利用'线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等'，故先连接BE，则有BE=AE=25，这个结论究竟有没有用尚且不知.但可以知道△BDE的面积=△ADE的面积=150，
所以△ABE的面积等于300，
注意到△ABE的底边AE=25，
所以作AE上的高BF，这条高也恰好是△ABC的腰AC的高，
所以△ABE的面积等于AE·BF/2=25·BF/2，
所以25·BF/2=300，
所以，BF=600÷25=24.
因为△ABE的边AE上的高也是△ABC的边AC上的高，
所以△ABC的面积=AC·BF/2=40×24/2=480，
因此，四边形BCED的面积=△ABC的面积-△ADE的面积
=480-150=330（平方米）."
解决了吴老汉的田地问题后，大家继续巡查其他被冲毁的田地，他们一行来到李大山老汉的原有田地，据他介绍他的一块菜园原来是如图2的等边△ABC，被洪水冲得剩下的是两角上的两个小等边△ADE和△CEF，村干部测得这两个等边三角形的面积分别是80平方米和180平方米，但唐僧关心的是被冲毁掉的那个四边形BDEF的面积。
"八戒，你给算一下被冲毁掉的那个四边形BDEF的面积是多少？"
八戒一看这个问题先是一怔，但他马上想到孙悟空刚才的算法，从简单的入手，尽可能求出相关的未知量，不管有用没用。
然而，这个问题与吴老汉那个问题绝然不同，似乎没有什么可比性。不过话又说回来，八戒毕竟也是取经归来的，他多多少少从师父和大师兄那里学了一些。
八戒心想，已知条件仅有图中等边△ADE、等边△CEF的面积，为了利用这两个三角形的已知面积，只能利用它们的底和高。也就是说，如果设等边△ADE的边长为a，高为b，等边△CEF的边长为c，高为d，则
由等边△ADE的面积等于80，得：ab/2=80，ab=160；
由等边△CEF的面积等于180，得cd/2=180，cd=360.
"二师兄，你求这两个有用吗？"沙僧莫名其妙。
"第一感觉应该是有用的。"八戒说，"因为△ABC、△ADE和△EFC都等边三角形，所以DE∥BC，EF∥AB，所以四边形BDEF是平行四边形，所以BF=DE=a，BD=EF=c，
又平行四边形BDEF的底边BF上的高是d，BD上的高是b，设它的面积为x，则x=ad，x=bc，
所以x的平方=ad·bc=（ab）（cd）=160×360=57600，
所以x=240，
因此，被冲毁掉的四边形BDEF的面积是240平方米."
"行啊八戒。"悟空没想到八戒越来越厉害。
经过几天的受灾情况调查后，师徒四人遵守诺言，根据村民受灾程度轻重给每家每户发放一定的钱财，全村村民对唐僧师徒感激不尽，家家户户轮流*鸡宰羊盛情款待他们。
几天下来，师徒四人每到各家，发现家里女主人每天都要到村外几里远的河边挑水回家做饭，十分辛苦。
唐僧再次决定再拿出一笔钱解决饮水困难，他们经过实地勘察，发现无底洞村的村民居住地主要分布在两个角落，这两个角落都在清溪河畔的北边，其中一个角落在东边的点A处，另一个在西边的点B处（如图3）.村民们每天都要从村里出发到河边L上取水回家，为了再次报答村民们的热情，唐僧决定在河边L上的某一点P处修建一个水泵站，然后从点P分别铺设水管将河水直送到A、B两个角落的蓄水池。
唐僧把三徒弟召集在一起，问他们水泵站P应建在什么位置，才能使修建的总费用最省？
"要想节省费用只能在水管的长度上做文章."八戒说.
"是的."悟空说，"问题就是水泵站P建在哪里，才能使水泵站到A、B之间的管道长之和最短？"
"过点A作垂直于L的垂线，垂足为C."沙僧说，"根据'垂线段最短'，把水泵站P建在点C处，此时水管不是最短吗？"
"对."八戒附和说，"也可以过点B作垂直于L的垂线，垂足为D，把水泵站P建在点D处也行."
"你们都错了."悟空说，"你们考虑到的只是水泵站P分别到A、B的距离最短，却忽视了当A到L距离最短时，B到L的距离却变大了；当B到L距离最短时，A到L的距离却变大了。我们应该考虑的是：水泵站P到两角落A、B的距离之和最短."
"那该怎么办呢？"
"这个问题事实上是一个数学问题。"悟空说，"这个问题就是：已知直线L和L同侧的两点A、B在直线L上寻找一个点P，使得PA PB最小."
"看来是俺老猪理解错了."八戒思考一会儿后说，"点A或者点B要是有一点在直线L的另一侧就好了."
"要是那样又该怎么办呢？"沙僧问.
"此时只需要连接A、B交直线L于点P，则PA PB=AB，此时点P就是水泵站的位置."八戒说，"否则，当点P不是AB与L的交点，而是另外一点时，则有PA PB>AB。"
"八戒说的没错。"悟空说，"当A、B两点位于直线L两侧时，只需要连接AB，交直线L于点P，此时PA PB=AB为最短."
"为什么呢？"沙僧问道.
"这个可以证明."悟空说，"假设水泵站不建在点P处，而是建在其他任何一点的点P/处（如图4），则此时需要的管道总长为P/A P/B＞AB（三角形两边之和大于第三边）.这说明建在点P处的管道总长最短."
"而事实上点A、B是在直线L的同侧，"八戒说，我们总不能让其中一个角落的村民移居到河的另一侧吧？"
"谢谢你八戒，你的'移民'又提醒了我。"悟空说，"想办法把A或B角落的村民'移民'到河的另一侧，问题就可以化归为图4的情形，但此时我们要保证'移民'的这个角落到河边的距离与原来他们到河边的距离相等。"
"具体该怎么办呢？"八戒和沙僧知悟空葫芦里卖的是什么药。
"你们看，"悟空指着图5说，"作点B关于直线L的对称点B/，连结AB/交直线L于P，则点P就是水泵站的最佳位置.它能使PA PB最短."
"悟空，这样真的能使水管总长PA PB最短吗？"唐僧担心浪费说，"我们赚钱可不容易，能省尽量省。"
"放心吧，师父."悟空说，"我证明给您看：
因为B和B/关于L轴对称，而P在L上，所以PB/=PB，因此，AP PB=PB/ PB=AB/.这说明从点A到河边L，再从河边L到点B的路程与从点A走到河边L，再从河边L走 点B/处的路程是相等的，而要使AP PB/最小，P的位置显然必须在A、B/的连线上，又P在直线L上，所以，连结AB/交L于点P，则点P就是水站的最佳位置."
"原来如此."众人悬着的心终于落下了.
这边刚设计好水泵站的位置，那边村长就来电话了，要孙悟空赶快到无底洞边一个施工现场帮忙解决一个货物转运站的选址问题.
原来，无底洞村这几年因当年"唐僧被困无底洞"、"孙悟空N探无底洞"等西游著名故事而闻名，南来北往的公路在无底洞旁交汇，每日里游客如织，商贾云集，由村委会筹建的无底洞工业区已初具规模。
如图6的点P处有一家由村委会独资的加工厂，每天生产的大量旅游纪念工艺品经由OA、OB这两条公路销往四面八方。因此，需要在OA、OB边上各建一个转运站M、N。在选址时，村委会干部意见纷纭，莫衷一是。
"吴施主，你先说说这两个转运站建在不同位置会有什么不同的区别？"唐僧问道。
"这两个转运站事实上是两个仓库，"吴主任说，"加工厂每天生产的产品要从加工厂P运到OA、OB边上这两个仓库M、N。如果M、N的位置不同，每天运送产品的车辆所产生的费用就会不同。"
"贫僧明白了。"唐僧说，"你们的意思是转运站M、N应分别建在何处，才能使从加工厂到转运站的运费最省？"
"是的，正是这个意思。"
"这还不简单吗？"八戒不屑一顾地说，"M、N的位置只要能使运送产品的车辆来回行驶的路程最短不就可以了嘛。"
"这点我们都明白。"吴主任说，"可是M、N建在哪里才能使运送车辆行驶的路程最短呢？"
"这里还涉及到一个运送方案问题。"悟空说，"比如说方案一：从加工厂P运送到公路OA边上的转运站M，然后按原路返回加工厂，再次从加工厂P运送到公路OB边上的转运站N，再按原路返回加工厂。"
"如果采用这种方案，问题的解决就太简单了。"八戒结果悟空的话题说，"只需要过点P分别作OA、OB的垂线，垂足M、N就是转运站的最佳位置。"
"还有其他方案吗？"吴主任问道，"还有没有比方案一所行驶的路程更短的呢？"
"可以考虑方案二：从加工厂P出发先运送到公路OA边上转运站M，卸下一部分后余下的再运往公路OB边上的转运站N，然后空车回到加工厂。"悟空说，但这种方案有没有比方案一所行驶的路程短还需要论证一下。"
"悟空，你应该先确定一下如果按照方案二进行运送，转运站M、N的最佳位置，然后才知道那种方案更好？"唐僧提醒道。
"师父说的是。"悟空说，"如果采用方案二运送，确定M、N的最佳位置就是这样一个数学题：已知P是∠AOB内部一个点，分别在OA、OB上求作一点M、N，使PM MN NP最小。"
"这个问题也太难了吧？"沙僧说，"要是N和点P是确定的，在OA上求作一点M，使PM MN NP最小那就好办。"
"沙师弟所言不差。"悟空说，"大家想一想：如果N和P都是固定的点，能作出点M吗？如果M和P都是固定的点，能作出点N吗？"
欲知如何作出符合条件的点M、N？请看下回分解。
