前面曾在头条、西瓜视频（同步到抖音）介绍过分形几何学的创始人伯努瓦·曼德尔布罗特，有热心读者希望我详细介绍一下分形几何学，于是收集了一些资料，结合笔者在用图形编程工具Scratch3.0和递归、迭代等算法绘制的一些典型分形几何图形，试图让读者有所了解。
分形几何是研究分形的数学分支。 分形是在不同尺度上具有自相似性或自亲和性的几何形状或结构。 这意味着它们在不同的放大倍数或分辨率水平下表现出相似的图案。 分形几何在各个领域都有许多应用，包括数学、物理、生物学、计算机图形学和艺术。
在本文中，将概述分形几何，讨论其主要应用、重要成果以及分形图的几个典型例子。
一、分形几何概述
分形几何是 1960 年代和 70 年代出现的一个相对较新的数学领域。 “分形”一词是数学家伯努瓦·曼德尔布罗特 (Benoit Mandelbrot) 于 1975 年创造的，源自拉丁语“fractus”，意思是破碎或支离破碎。 Mandelbrot 将分形定义为“具有非整数维数的集合”，并引入“分形维数”的概念来衡量分形形状的复杂程度。
可以使用数学方程式或通过对初始形状或集合反复应用简单变换来生成分形。 自然界中可以找到分形形状，例如云、海岸线、山脉和树木。 它们也可以使用计算机算法生成，并用于计算机图形、数字艺术和数据可视化。
分形几何的研究导致了用于分析复杂系统的新数学工具和技术的发展，例如混沌理论、自组织和动力系统。 分形几何也激发了艺术、建筑和设计方面的新思想，并对我们对自然世界的理解产生了深远的影响。
二、分形几何在各个领域都有很多应用，包括：
1.数学：分形几何导致了用于分析复杂系统的新数学工具和技术的发展，例如混沌理论、自组织和动力系统。 分形几何也被用于研究分形集的性质，例如它们的豪斯多夫维数、堆积维数和盒计数维数。
2.物理：分形几何已用于建模和分析复杂的物理系统，例如湍流、流体动力学和纳米级材料的行为。 分形几何也被用于研究自然现象中分形图案的特性，例如雪花、闪电和河流网络。
3.生物学：分形几何已被用于研究生物系统的结构和功能，例如树木的分枝模式、人体血管的分布以及癌细胞的形态。 分形几何也被用于分析生物数据，例如 DNA 序列和大脑活动。
4.计算机图形学：分形几何已用于在计算机图形和视频游戏中生成逼真的 3D 风景、纹理和图案。 分形算法也被用于压缩数字图像和视频，以及为密码学生成随机数。
5.艺术：分形几何激发了艺术、建筑和设计方面的新想法。 分形图案已被用于纺织品、陶瓷、珠宝和其他装饰艺术。 分形艺术是一种数字艺术形式，它使用分形算法来创建复杂而错综复杂的图像，近年来越来越受欢迎。
三、分形几何的重要成就
分形几何导致了数学、物理学和其他领域的许多重要成就。 分形几何中一些最重要的成就是：
1.Mandelbrot 集：Mandelbrot 集是分形集的一个著名示例，由 Benoit Mandelbrot 于 1978 年发现。Mandelbrot set 是通过将复杂的公式迭代地应用于复数并绘制不会逃逸到无穷大的点来生成的。 Mandelbrot 集具有复杂而错综复杂的结构，在不同尺度上表现出自相似性和无限细节。 Mandelbrot 集在分形几何方面得到了广泛研究，并激发了数学、物理学和计算机科学领域的新思想。
2.Julia 集：Julia 集是另一个著名的分形集示例，由 Gaston Julia 于 1918 年发现。Julia 集也是通过将复数公式迭代应用于复数并绘制不会逃逸到无穷大的点而生成的。 Julia 集与 Mandelbrot 集具有不同的结构，并展现出各种复杂而错综复杂的模式。
3.分形维数：分形维数的概念是由Mandelbrot于1967年引入的，用来衡量分形集合的复杂性。 分形维数是描述分形集缩放行为的非整数值。 分形维数已被用于分析分形集的性质，例如它们的豪斯多夫维数、堆积维数和盒计数维数。
4.混沌理论：混沌理论是数学的一个分支，研究对初始条件高度敏感的动态系统的行为。 混沌理论在物理学、生物学和其他领域有许多应用，并已被用于研究混沌系统的特性，例如天气、人口增长和金融市场行为。 分形几何在混沌理论的发展中发挥了关键作用，并为复杂系统的行为提供了新的见解。
5.自组织临界性：自组织临界性是一种解释表现出幂律分布的复杂系统行为的理论。 自组织临界性已被用于研究自然现象的特性，例如地震、森林火灾和雪崩。 分形几何已被用于分析自组织关键系统的特性，并为复杂系统的行为提供了新的见解。
四、分形图的典型例子
分形图的例子有很多，每个都有自己独特的属性和特征。 分形图的一些最典型的例子有：
1.谢尔宾斯基（Sierpinski）三角形：它是通过迭代地从等边三角形中移除中心三角形并对每个剩余三角形重复该过程而生成的。 Sierpinski 三角形具有自相似结构，在不同尺度下展现出无限的细节。 谢尔宾斯基三角形在计算机图形学、数字艺术和数据可视化方面有很多应用。
笔者用Scratch3.0绘制的箭头谢尔宾斯基三角
2.科赫曲线：科赫曲线是一种分形图，它是通过用四个形成等边三角形的较小线段迭代替换每条线段而生成的。 科赫曲线具有自相似结构，在不同尺度上展现出无限的细节。 科赫曲线在计算机图形学、数字艺术和数据可视化方面有很多应用。
笔者用Scratch3.0绘制的科赫雪花
3. 龙形曲线（Dragon Curve）是一种经典的分形曲线，它是由英国数学家约翰·汉密尔顿·弗雷泽（John Hamilton Fractal）在20世纪60年代首次引入的。龙形曲线以其简单的构造方式和美丽的形态而闻名于世。其构造方式非常简单，首先将一条线段分为两段，并在其中一段上构造一个等边三角形，然后将另一段线段翻转90度，使其与三角形相连。接着，再将这两段线段分别分为两段，并按照相同的方式构造一个等边三角形和一个翻转90度的线段。如此重复下去，每一次都将线段分为两段，构造一个等边三角形和一个翻转90度的线段，最终形成一条充满分形特征的曲线。
笔者用Scratch3.0绘制的龙形曲线及其组合
4.巴恩斯利蕨类植物：巴恩斯利蕨类植物是一种分形图，通过对初始点迭代应用四个仿射变换生成。 巴恩斯利蕨类植物具有自相似结构，并呈现出类似蕨类植物的复杂图案。 巴恩斯利蕨类植物在计算机图形学、数字艺术和数据可视化方面有许多应用。
用Scratch和两种算法绘制的巴恩斯利蕨类
5.曼德尔布罗集：Mandelbrot 集是一种分形图，它是通过将复杂公式迭代地应用于复数并绘制不会逃逸到无穷大的点而生成的。 Mandelbrot 集具有复杂而错综复杂的结构，在不同尺度上表现出自相似性和无限细节。 Mandelbrot 集在数学、物理和计算机科学中有许多应用。
用Scratch3.0绘制的曼德尔布罗集
6.茱莉亚 集：Julia 集是一种分形图，它是通过将复杂公式迭代地应用于复数并绘制不会逃逸到无穷大的点而生成的。 Julia 集与 Mandelbrot 集具有不同的结构，并展现出各种复杂而错综复杂的模式。 Julia 集在数学、物理和计算机科学中有许多应用。
用Scratch绘制的Julia 集
7.门格尔海绵：Menger 海绵是一种分形图，它是通过迭代移除立方体每个面的中间三分之一并在每个剩余的立方体上重复该过程而生成的。 Menger 海绵具有自相似结构，在不同尺度下展现出无限的细节。 门格尔海绵在数学上有很多应用。
8.分形树：分形树是一类分形图，它们是根据特定算法通过迭代地将分支添加到起点而生成的。 分形树具有自相似结构，并在不同尺度上展现出无限的细节。 分形树在计算机图形学、数字艺术和数据可视化方面有很多应用。
用Scratch绘制的对称二叉树
9. 莱维C型曲线（Levy C Curve）是一种经典的分形曲线，它的名字来源于法国数学家保罗·皮埃尔·莱维（Paul Pierre Lévy）。其构造方式非常简单，首先将一条线段分为两段，然后在其中一段上构造一个等边三角形，并将另一段线段旋转45度，使其与三角形相连。接着，再将这两段线段分别分为两段，并按照相同的方式构造一个等边三角形和一个旋转45度的线段。如此重复下去，每一次都将线段分为两段，构造一个等边三角形和一个旋转45度的线段，最终形成一条充满分形特征的曲线。
用Scratch3.0绘制的Levy C Curve
五、总结
分形几何是一个引人入胜且发展迅速的数学领域，在科学、工程和艺术领域有许多应用。 分形几何彻底改变了我们对复杂系统的结构和行为的理解，并为自然现象（如云、海岸线和星系）的特性提供了新的见解。 分形几何还激发了计算机科学、数字艺术和数据可视化方面的新思想，并催生了广泛的新技术和应用。
正如我们在本文中所看到的，分形几何是一个广阔而多样的领域，涵盖了广泛的主题和技术。 从 Mandelbrot 集到混沌理论、分形维数和自组织临界性，分形几何提供了丰富而迷人的思想和概念景观，不断激发新的研究和创新。
