女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。
1. 介绍
埃舍尔的许多版画都以某种方式改变平面划分为特征[11,254页]。最有名的可能是《变形2》，这是一幅狭长的版画，在图案、拼块和现实风景之间有各种巧妙的过渡。埃舍尔非常明确地指出了这些长版画的时间性。他不会简单地描述《变形2》的结构——他会像故事一样叙述它[5,48页]。
变形2
变形3
我对以埃舍尔的变形风格创造新设计的问题感兴趣。更确切地说，我想开发一些算法，使创造过程的某些方面自动化。为此，我研究了埃舍尔用来进行转换的装置，其最终目的是将这些装置数学化。在本文中，我提出了我对转换装置的分类（第2节），并提供了它们出现在埃舍尔作品中的交叉参考。然后，我讨论了关于过渡类型的已知情况（第3节），并特别关注一种类型——插值——它显示了数学处理的最大前景。
2. 埃舍尔的过渡
对埃舍尔作品的调查（由Bool等人[1]收集）发现，有18件作品采用了某种过渡装置。通过研究这些作品，我确定了6种过渡的类别。《变形II》可以作为一种图集，因为它包含了所有6种类型。它们如下。
T1
实现：将几何图案精心设计成景观或其他具体场景。在《变形2》中，菱形的立方体排列演变成对意大利小镇阿特拉尼的描绘。
T2
交叉渐变：两种对称的设计叠加在一起，其中一种渐变到另一种。埃舍尔很少使用这种方法，在《变形2》和《变形3》中，他将“变形”一词的直线排列转化为棋盘(后来又进行了反向转换)。
T3
邻接：两个不同的拼块沿着共同的曲线突然拼接在一起。过渡生效时，两个拼块有模糊的相似的几何形状，可以做邻接，没有太多的扭曲。在《变形2》中，埃舍尔只使用过一次这个装置，从六边形的蜥蜴转变为方形的蜥蜴。(后来，他在更大的《变形3》中嵌入了同样的序列。)
T4
成长：图案逐渐成长，以填补预先存在的图案领域中的负空间，从而形成多面体的拼块。新的图案不需要占据所有的空隙；在《变形II》中，红鸟成长到占据了黑鸟之间的一半空间。当这两组图案最终融合在一起时，它们以第三只鸟图案的形式留下了一个白色区域。
T5
天与水：这种过渡以一些现实的形状A的副本开始，以另一个现实的形状B的副本结束，并通过两个类似于A和B的形状的平铺在它们之间，在埃舍尔的《天与水》中，上面的鸟遇到下面的鱼。
T6
插值：通过平滑地变换拼块的形状，一个拼块演变成另一个拼块。埃舍尔用这个装置把简单的拼块变成他熟悉的相互连锁的动物形式（例如，在《变形2》中把方块变成爬行动物，在《举一反三Verbum》中把三角形变成各种形式）。在某些情况下(如《解放》)，动物形式然后被允许从拼块逃脱。
《举一反三》（Verbum）
由此，《变形II》中的转场顺序可以从左到右解读为：
- T2（"变形 "的副本变成一个棋盘）。
- T6（棋盘变成爬行动物的方形排列）。
- T3（方形爬行动物变成六边形爬行动物）。
- T6（六边形爬行动物变成六边形）。
- T1（六边形变成有蜜蜂的蜂巢）。
- T5（蜜蜂变成鱼）。
- T5 (鱼变成黑鸟) 。
- T4 (黑鸟变成三种不同颜色的鸟)。
- T6 (鸟变成一个长方体排列的菱形) 。
- T1（菱形变成阿特拉尼镇，然后变成一个棋盘）。
- T1（棋盘变成一个正字形棋盘--反向实现 ）。
- T2 (棋盘变成 "变形 "的副本)。
同样，根据这里给出的分类，《变形3》包含了20多个转变。
受Schattschneider为埃舍尔的周期性绘画[11]提供的交叉参考的启发，表1列出了六种过渡装置和它们出现的作品之间的一致性。
表1：埃舍尔的过渡装置与它们出现的作品之间的对应关系。括号中的目录号指的是Bool等人对埃舍尔作品的汇编[1]。
该表没有记录执行转换的特定方式。鉴于埃舍尔倾向于将这些设计解释为故事，大多数过渡都是以水平或垂直的线性顺序安排的，尽管偶尔它们是径向操作的。例如，Verbum是由等边三角形构建在单个密铺上的。插值从中心向外进行，在六边形的边缘上有6个逼真的动物形状；6个天与水的实例出现在六边形的六条边上。
此外，表格中的一些选择还有待商榷。《循环》上半部分的建筑是否应被视为下面拼块的实现，还是两者只是相邻？当然，并不是每一个拼块与现实图像的并置都应该被视为实现；尽管在《美洲鳄》（cat.327）中，三维形式从印刷的页面中出现，但拼块本身并没有经历任何形式的转变。作为另一个例子，请注意“插值”和“天与水”之间有一些重合。拼块演化成现实形态并逃离瓷砖的特殊情况与一半的“天与水”转换非常相似。这种情况可能确实最好分离出来成为第七种过渡类型（我建议将其命名为“解放”，以同名的作品为例）。
循环
解放
3. 变形的数学原理
许多学术工作都试图分析埃舍尔作品的数学结构[2, 4, 11]，或者合成受其启发的新设计[3, 13]。于是我们可能会想，上一节的过渡类型在多大程度上可以作为创造新的几何变形的基础。作为一个计算机图形学的研究者，我设想了一个“变形工具箱”，一套将这些转换置于设计师控制之下的算法。
显然，在正式确定这六种过渡类型的每一种时都有许多挑战需要面对。“天与水”和“插值”的流行表明，这两个问题应该首先解决。在早期的工作中，我展示了如何将自动发现类似埃舍尔镶嵌的优化技术[8]扩展为生成天水设计[9]。在这一节中，我将转向插值过渡，这是密铺理论中的一个问题。
给定两个拼块T1和T2，插值要求在这两个拼块之间实现平滑的几何过渡。据推测，T1和T2的拼块之间建立了一对一的对应关系，当参数t从0移动到1时，每个单独的拼块逐渐从T1的形状变形到T2的形状。像埃舍尔一样，我们试图在平面的某个区域进行这种变形。我们还可以考虑一种时间上的变化，在这种变化中，我们构建一个从T1到T2的连续动画。
除了埃舍尔的艺术，我们还可以把威廉·赫夫的拼花变形作为灵感来源。赫夫是一位建筑设计教授，他发明了拼花变形，并把它们的绘制工作交给他的学生。后来，侯世达在《科学美国人》中对这些作品进行了推广[7, 第10章]。赫夫的灵感直接来自埃舍尔的《变形》。他把这种风格提炼成一个抽象的核心，只考虑插值过渡，并倾向于用简单的线条艺术来呈现抽象的几何图形，而不是埃舍尔的装饰性动物形式。正如侯世达所写道，赫夫进一步决定关注T1和T2是“直接单面体”的情况，也就是说，每个拼块都只通过平移和旋转与其他拼块全等。我们也可以假设他心中只有周期性的拼块。最后，他要求在变形的中间阶段，创建的拼块形状可以是一个单面体拼块的原型。侯世达修正了这最后一条规则，指出一些变形可能是必要的，以使中间的形状成为拼块；这一修正需要一个数学上的严格处理。
受埃舍尔变形和拼花地板变形的启发，我根据等面体拼块理论将插值问题形式化[6，第6章]。等面体拼块很好地符合镶嵌规则的直观概念。它们的表现力足以表达广泛的形状，包括埃舍尔的周期性绘画，并承认紧凑的符号描述，使它们成为软件实现的理想选择。因此，我们将插值问题表示为：给定等面体拼块T1和T2，称为“关键拼块”，在它们之间构造平滑的空间或时间变形。
除了时间和空间转换的相对困难之外，还有一系列日益复杂的情况需要考虑，这取决于T1和T2之间的关系：
例1。关键拼块是相同的等面体类型，并有相等配置的密铺顶点(3个或更多的瓷砖相交点)。
例2。关键拼块是不同的等面体类型，并有相等配置的密铺顶点。
例3。关键拼块是相同的等面体类型。
例4。关键拼块是相同的拓扑类型。
例5。关键拼块是任意等面体拼块。
第一种情况很容易在时间或空间上解决。当密铺顶点全等时，有一个刚性运动将T2的密铺顶点映射到T1的平铺顶点上。这种刚性运动提供的配准将拼接的一般插值简化为连接拼接顶点的曲线的插值。任何在两条路径之间连续插值的算法都可以用来实现平滑过渡。图1显示了两个基于线性插值的简单示例。更复杂的曲线变形技术，如Sederberg等人的作品[12]可能会产生更有吸引力的结果。请注意，埃舍尔的插值完全依赖于这种简单的情况，或者依赖于形状变得更加真实时从平铺中解放出来的变化。然而，我们希望审查其余的案件。
图1:案例1中拼花变形的例子，其中关键拼块具有相同的等面体类型和全等密铺顶点。左右设计分别基于IH18和IH88等面体类型。
当两个镶嵌属于不同的等面体类型，但具有全等的镶嵌顶点时，上述方法仍然有效。然而，插值可能会产生几个不协调的中间形状，违反了拼花变形的设计原则之一。当拼块类型具有不兼容的方向集，导致具有不同相对方向的拼块被识别时，就会出现这种情况。如图2所示，我们可以通过使用直边的中间拼块(关键拼块的等面体类型的所谓Laves 拼块[6，第4章])进行插值来恢复近似单曲面。这一变化将案例2简化为案例1的两个实例，尽管中间镶嵌的简单性在美学上可能存在问题。
图2:案例2中拼花变形的例子，其中等面体类型不同，但拼块顶点一致。左侧为IH50型，右侧为IH61型。顶行直接混合相应的边，导致两个不协调的中间形状族。最下面一行通过底层的Laves拼块避免了这个问题。
案例3很容易临时实施。在我之前关于“埃舍尔化”的工作中，我展示了每种等面体密铺类型如何具有一个简单的参数化来控制密铺顶点的位置[8]。给定两个相同类型的密铺，我们可以从T1中控制顶点的参数平滑地插值到T2中的顶点。然后，我们可以像以前一样对边缘形状进行插值。虽然是连续的，但此插值可能会导致平铺经历任意仿射变换(就像正方形变形为平行四边形的情况一样)，这不一定会产生非常“稳定”的动画。
情况3的空间变异比较困难。要绘制插值，我们必须首先设置密铺顶点的排列，从T1到T2逐渐变化。但是，即使在单一的等面体类型中，密铺顶点的配置也会发生巨大变化。插值是在绘制切片的同一空间中进行的，这一事实加剧了这个问题。在时间的情况下，没有这样的干扰。一种可能的解决方案是使用密铺顶点之间的基本对应关系，在T1和T2中的平铺顶点位置之间进行线性插值。在这种情况下，为了使连接任意两个对应顶点的线段尽可能短，最小化两组密铺顶点之间的全局仿射变换是有意义的。密铺顶点布局完毕后，可以像往常一样对密铺边缘进行插值。这种方法可能会产生不令人满意的结果，因为即使当全局仿射变换最小化时，插值仍然会弯曲和凸起，破坏赫夫变形中发现的干净的线性级数(见图3)。需要做更多的工作来确定如何对齐两个镶嵌，使得插值可以在一个条带中干净利落地完成。
图3:案例3中拼花变形的例子，其中两个关键拼块具有相同的等面体类型，但是密铺顶点允许移动。左边的例子(IH3)是稳定的，而右边的例子(IH41)是弯曲的。在这两个例子中，关键拼块与连接拼块顶点的粗轮廓一起显示。
第四种情况和第三种很像。因为两个密铺具有相同的拓扑结构，所以具有该拓扑的Laves镶嵌可以用两个关键镶嵌的等面体类型的参数化来表示。然后，可以使用这种共享拼块来推导拼块顶点之间的对应关系，根据这种对应关系，可以使用前面的插值方法。请注意，因为我们可能正在处理不兼容的图块方向集，所以情况2的不协调问题再次出现在这里。和以前一样，通过共享Laves密铺进行显式转换可以将问题减少到案例3的相邻实例。
一般情况是最棘手的；除了到目前为止遇到的所有困难之外，我们还必须考虑瓷砖拓扑的变化。因此，密铺顶点之间不再有明确的对应关系。另一方面，赫夫的许多例子实现拓扑转换不需要太多的努力。如果我们可以在各种Laves镶嵌之间手动生成合适的插值，我们可以使用这些过渡作为“门户”来连接任何两个等面体密铺，而不管拓扑如何。因为只有11个Laves密铺，所以需要少量的插值。
在图4中，我提出了一组Laves密铺之间的插值。请注意，这些过渡本身可能是串联的，以便在未给出直接过渡的两个Laves密铺之间移动(尽管存在未示出的其他更直接的插值)。此方法统一了除(4.6.12)之外的所有Laves密铺。我猜测，进入或退出这种拼块是不可能平稳过渡的。幸运的是，忽略(4.6.12)会忽略81个等面体类型中的一个(IH77)。
图4：Laves拼块之间的拼花地板变形集合。每个变形都以Laves密铺开始和结束，如图下所示。每一个都在其长度的某处有一个拓扑不连续。这些示例在用星号标记的一个端点处都有间断。通过连接或合成这些变形，我们应该能够在右下角显示的(4.6.12)以外的任何两个Laves密铺之间过渡。
到目前为止，我们假设当多个转换链接在一起时，链接是通过简单的连接完成的。这种方法限制了插值的审美范围。在时间的情况下，通过中间拼块的通道可以是连续的，但是表现出不和谐的不连续性。在空间方面，我们希望通过平滑中间过渡的方式从密铺T1过渡到密铺T2。我假设，除了连接插值，我们应该能够组合它们，并让两个插值同时发生。然后，任何插值序列都可以组合在一起，直接从一个拼块到另一个拼块产生平滑的变形。
举个例子，考虑一个点沿着线段的运动。如果我们希望从位置p1移动到p2，然后从p2移动到p3，我们可以简单地连接两个轨迹；这条新路径将呈现方向(和速度，如果线段长度不同)的不连续变化。然而，用控制点p1、p2和p3绘制二次贝塞尔曲线的de Casteljau算法会短路线性轨迹，并创建由两个原始线段组成的平滑路径。研究是否有一种类似于de Casteljau算法的算法来解决拼接插值的问题是很有意思的。
4.结论
本文的主要目的是提供一个由埃舍尔使用的转换类型的分类。这种分类法可以用来理解其他艺术家的类似作品，或者研究我们如何通过新的几何过渡超越这六种类型。
在介绍了我对埃舍尔工作的分析后，我忍不住对可以应用于自动插值的技术进行了推测。埃舍尔对插值的使用导致了等面体密铺领域一个深刻而迷人的问题。我希望本文中的建议将激发数学变形构造的新研究。
References参考文献
[1] F. H. Bool, J. R. Kist, J. L. Locher, and F. Wierda. M. C. Escher: His Life and Complete Graphic Work. Harry N. Abrams, Inc., 1992.
[2] Bart de Smit and Henrik W. Lenstra. The mathematical structure of Escher’s Print Gallery. Notices of the American Mathematical Society, 50(4):446–451, 2003.
[3] Douglas J. Dunham. Creating hyperbolic escher patterns. In H. S. M. Coxeter et al., editor, M.C. Escher: Art and Science, pages 241–247. Elsevier Science Publishers B.V., 1986.
[4] Bruno Ernst. The Magic Mirror of M. C. Escher. Ballantine Books, New York, 1976.
[5] M. C. Escher. Escher on Escher: Exploring the Infinite. Henry N. Abrams, Inc., 1989. Translated by Karin Ford.
[6] Branko Grunbaum and G. C. Shephard. Tilings and Patterns. W. H. Freeman, 1987.
[7] Douglas Hofstadter. Metamagical Themas: Questing for the Essence of Mind and Pattern. Bantam Books, 1986.
[8] Craig S. Kaplan and David H. Salesin. Escherization. In Proceedings of the 27th annual conference on Computer graphics and interactive techniques (SIGGRAPH 2000), pages 499–510. ACM Press/Addison-Wesley Publishing Co., 2000.
[9] Craig S. Kaplan and David H. Salesin. Dihedral Escherization. In GI ’04: Proceedings of the 2004 conference on Graphics interface, pages 255–262. Canadian Human-Computer Communications Society, 2004.
[10] J. F. Rigby. Butterflflies and snakes. In H. S. M. Coxeter et al., editor, M.C. Escher: Art and Science, pages 211–220. Elsevier Science Publishers B.V., 1986.
[11] Doris Schattschneider. M.C. Escher: Visions of Symmetry. Harry N. Abrams, second edition, 2004.
[12] Thomas W. Sederberg, Peisheng Gao, Guojin Wang, and Hong Mu. 2D shape blending: An intrinsic solution to the vertex path problem. In James T. Kajiya, editor, Computer Graphics (SIGGRAPH ’93 Proceedings), volume 27, pages 15–18, aug 1993.
[13] Jane Yen and Carlo Sequin. Escher sphere construction kit. In
Proceedings of the 2001 symposium on Interactive 3D graphics, pages 95–98. ACM Press, 2001.
[14] Craig S. Kaplan, Metamorphosis in Escher’s Art
青山不改，绿水长流，在下告退。
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