被一个经典的概率谜题整得头都大了

“有三个箱子，我在其中一个箱子放100块钱，然后你选一个，选完之后我从剩下的两个箱子打开一个空箱子，然后问你和另外一个换不换？”。前两天朋友在微信群发了这样一个题目，引起了大家的兴趣。

这看起来是个概率题，实际上也是。另一个朋友开始计算起来，换与不换各自的胜率，而我也在默默的思考。直到他们给出了答案，我也没想明白是怎么回事。

不过我记得前段时间刷到过这种视频，一个博主跟他媳妇玩了这个游戏，后面他媳妇没有选择换，没有赢得那一百块钱。

虽然知道答案，但我还是没想明白，我理解的是重新选择箱子的胜率应该是1/2，这比起第一次选择的胜率1/3也大不了多少。

实在没办法，十几年书白读了。后来我借助通义千问搞清楚了这个问题。

原来这是一个经典的概率谜题，源于美国电视游戏节目《Let's Make a Deal》，主持人叫蒙提·霍尔（Monty Hall），所以这个问题也被称为蒙提霍尔问题（Monty Hall Problem）。

问题情境如下：

**游戏规则**：

1. 有三扇关闭的门，分别标记为A、B、C。其中一扇门背后藏着一辆汽车（奖品），另两扇门各自藏着一只山羊（无价值物品）。

2. 参赛者首先随机选择一扇门，假设他选择了门A。

3. 主持人（知道每扇门后是什么）并不会立即打开参赛者所选的门，而是先打开剩下的两扇门中的一扇，这扇门必定藏着一只山羊（因为主持人总是会选择没有汽车的那扇门来打开）。

4. **关键步骤**：在揭示了一只山羊之后，主持人询问参赛者是否愿意坚持最初的选择（门A），还是改选现在未被打开且未被最初选择的另一扇门（即剩下的门B或C）。

5. 如果参赛者最终选择的门背后是汽车，那么他赢得汽车；否则，他得到一只山羊。

**问题的核心**：在主持人揭示一只山羊后，参赛者是否应该更换他的初始选择，以提高赢得汽车的概率？

**正确解答**：参赛者应当更换他的初始选择，这样会将赢得汽车的概率从原始的1/3提高到2/3。

**解释**：

- 在游戏开始时，参赛者随机选择一扇门，其正确率为1/3，两扇未选门中包含汽车的总概率为2/3。

- 当主持人揭示了一只山羊（假设是门B）后，门B被排除，但此时门A和门C背后的概率并未发生改变，即门A仍然是1/3的概率有汽车，而门C始终保持着与门A相同的概率（即2/3）。

- 因为主持人绝对不会打开藏有汽车的门，所以当门B被打开显示为山羊时，汽车一定在剩余的两扇门（A和C）之中。由于门A和门C原本的概率是均等的（都是1/3或2/3的可能性），现在门B被剔除，汽车的存在性转移到了剩余的门C上。

- 因此，参赛者如果改选门C，他赢得汽车的概率将是2/3，比坚持选择门A（只有1/3的概率）显著提高。

总结来说，蒙提霍尔问题展示了条件概率和信息更新在决策过程中的重要性。尽管直观上可能感觉更换选择与不更换选择获胜概率相同，但通过严谨的概率分析，我们可以清楚地看到，在主持人揭示了非奖品信息后，更换选择实际上提供了更高的获奖概率。

看了通义千问的解释，总算是弄明白了。