女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。
本文介绍了五种建造迷宫的方法。第一种是基于一种“转移”方法，显然是秘鲁纳斯卡人用来建造螺旋的。第二种是“回纹”方法，结合了转折点和指导方针，显然是用来建造新石器时代的迷宫，也可能是中世纪大教堂的迷宫。第三个是第一次在巴比伦泥板上看到，迷宫被设计在“网格”上第四种方法是基于组合游戏的“模块化”牌。第五种方法是基于Fenyvesi等人(2013)提出的概念的“开关”拼块。此外，还展示了三种三维迷宫。
简介
有一条蜿蜒路径的迷宫，有许多转弯和方向的变化。从技术上讲，在迷宫里迷路应该是不可能的，只要人们沿着这条路走，不管它如何曲折。相反，有许多路径选择的迷宫很容易迷路。随着时间的推移，迷宫已经与传说联系在一起，从而与各种意义联系在一起，特别是通往冥界的通道或改造之路的概念。有关背景文化、地区、时间框架和建造方法的一般迷宫参考资料，见[1]、[3]、[4]和[5]。
纳斯卡螺旋、半圆和“转移”
纳斯卡线条是在秘鲁西南部纳斯卡沙漠的土壤中创造的一组非常大的地理符号。地理符号有多种形式，有些是具象的，有些是抽象的。迷宫如何进化的线索可能在于螺旋形的地理符号和它们可能的建造方式。图1(b)显示了一个例子，一个估计直径为275英尺的纳斯卡螺旋，日期在公元前500年到公元前200年之间。显然，螺旋地质图是通过组合两组均匀间隔的同心半圆而构建的，其中一组偏移了半圆之间的间隔宽度，见图1(c)。可能是一个人，见图1(a ),用一根杆子和一根绳子，等间距打结，来建造半圆和螺旋。这种结构概念可以扩展，图2和图3显示了如何使用该方法来创建迷宫。图3(c)具有与克里特岛迷宫相同的转弯逻辑，参见本文的“回纹”部分。这是第一次分享这个概念。
图1:(a)杆绳法。(b)纳斯卡螺旋航拍图(c)纳斯卡螺旋移位图
图2:(a)圆圈转变为螺旋(b)。(c)新的极点。(d)螺旋。(e)新极点。
图3:(a)圆圈变成螺旋状(b)。(c)增加了新的极点，形成克里特迷宫。
古代迷宫和“回纹”
已知最古老的迷宫可以围绕一组点和线建造，这些点和线用于旋转和引导迷宫，在这里被称为“回纹”。要创建经典的克里特牛头人迷宫，使用回纹方法，在每个象限绘制一个中心十字，在每个象限中画一个四个杯形的十字来引导路径，并在每个杯子中画一个旋转点，将路径旋转180°，请参见图4(A)。回纹方法首先将十字架的顶端连接到右上杯的最近端，然后将左上杯的最近端连接到右上点，然后依次连接1到2、3到4、5到6、7到8等。许多历史上的迷宫可以使用该方法的变体来构建，参见图4(A)到4(E)。迷宫，图4(C)是霍皮编织篮子的迷宫，带有与克里特迷宫相同的回纹签名。
图4: (a)克里特迷宫。(b)印度的查克拉维尤哈，公元前400年。(c)霍皮人的篮子编织，17世纪。(d)俄罗斯的莫斯科伊扎亚茨基群岛，公元前500年(？).(e)印度Usgalimol的岩石雕刻，公元前8000年。
迷宫有一个单一的路径，蜿蜒穿过它。所有的迷宫都可以用一根绳子或线来复制。克里特岛迷宫的路径是整圈旋转的，围绕一个中心固定点，顺时针四次，逆时针三次，然后向内三次，向外两次，向中心和向外。这种类型的迷宫在同心层上上下下，由其回纹的指引和旋转点来塑造，或遵循同心多边形或圆的指引，如中世纪大教堂迷宫的情况。如果一个迷宫的路径基本上在每一层都是一个完整的循环，那么这个迷宫就被认为是 "简单的"。简单的迷宫是 "螺旋形的蜿蜒"，见[6]，可以通过穿越时的层次变化来描述。在图4(a)中，克里特迷宫的层次变化是：2,1,0,3,6,5,4,7--其中'0'是外层的层次，'7'是中心。
回纹的引导线和旋转点可以从它们的原始位置展开，以围绕中心轴对齐。这种重新排列简化了路径，见图5。如果轴上方的半圆形路径围绕中心轴再旋转半圈，可以看到迷宫的“核心”螺旋结构，见虚线半圆。螺旋结构在图5中以矩形形式重复。图5(d)具有与克里特岛迷宫相同的旋转和等效的指引线(和端点)。迷宫的这种展开也创造了可以更容易地用纳斯卡极点方法构建的设计。
图5：(A)2级。(B)三级。(C)5级。(D)7级转弯，相当于克里特迷宫。
中世纪大教堂——回纹、多边形和圆环
用于创建中世纪迷宫的设计方法是基于回纹逻辑的发展。几乎在每一种情况下，同心的多边形或圆都作为指导方针，并与180度的旋转点相结合。这些设计通过基督教的数字学来传达--通过形状和层数。它们通过与特修斯和弥诺陶洛斯的联系象征着善与恶之间的斗争。它们也是作为祈祷和诵经的通道的功能。在公元11世纪罗马哲学家波爱修斯（Anicius Boethius，公元480-524年）的《哲学的慰藉》（Consolatione Philosophiae）副本中，有一幅 有一幅七层迷宫的插图，其中包含一个祈祷词："Assumpta est Maria ad Caelestia，Alleluia！" (玛利亚被假定进入天堂，哈利路亚!)。这段祷文可以用两种方式阅读：沿着迷宫的路径阅读，可以得到一种线条的排列，或者根据圆圈阅读，可以得到不同的线条组合，见图6。参考文献[3]，[5]。
图6：罗马 "波爱修斯 "迷宫的中世纪副本，可能存在"回纹"。
西元13世纪的沙特尔大教堂的迷宫，见图7(a)，直径约42英尺，路径长度超过800英尺。完成的沙特尔设计有12层，有半圈的旋转点和四分之一圈的指引，方向是顺时针和逆时针。这条路将运动引向中心四次，离开中心三次。该设计的对称性形成了一个十字架，中心是一个六面花环的形式，整个大教堂都用六来代表圣母。沙特尔迷宫，及其所有的数字学，都是关于上升和下降的，而且，最终是关于到达 "地球 "与 "天堂 "相遇的地方。在沙特尔，很容易想象出六个僧侣、朝圣者或大教堂学校的学生，在沿着沙特尔迷宫的道路前进，直到他们站在中心花的六片花瓣中的其中一片上时，他们会吟诵（按照波爱修斯的说法）。人们不禁想到荷马对迷宫的描述，它是阿里阿德涅的仪式性舞场，她沿着迷宫的螺旋线跳舞，庆祝生命的优雅。公元16世纪意大利的圣维塔莱大教堂迷宫，见图7(b)，与沙特尔迷宫的形式有相似之处，见[1]和[3]。
图7: (a)沙特尔迷宫。(b)圣维塔莱大教堂迷宫。
回纹的发展
回纹的概念可以创造性地发展，例如，增加指引线和旋转点的数量。图8(a)显示了一把由两部分组成的回纹。图8(b)显示了查克拉维尤哈迷宫回纹的发展。图8(c)显示了创建混合迷宫的连接键。
图8：(A)开放的回纹。(B)六角形回纹。(C)相连的回纹。
迷宫和“网格”
迷宫设计在公元前2000年至公元前1700年的巴比伦泥碑MS3194上留下了蚀刻痕迹，见图9。其线条的间距表明使用了正方形网格，绕着它创建了一条粗略的旋转对称的路径。近2000年后的古罗马，迷宫要精致得多，但通常位于网格中，许多迷宫具有旋转对称性。
图9：公元前1700年巴比伦泥碑网格迷宫
二世纪的法国杜邦城堡——人字形迷宫是一种地板马赛克，其中克里特岛迷宫回纹可能被用来创建左下象限，然后重复并顺时针旋转以完成三个象限，然后再次创建第四个象限，但有两个方块被“挤压”到右边，以提供进入迷宫的入口，见图10(a)。250 CE的瑞士阿文契斯迷宫是一个罗马马赛克，具有相同的旋转和“挤压”逻辑，见图10(b)。
图10: (a)法国雪佛龙桥，公元2世纪。(b)瑞士阿文奇迷宫，250年。
网格开发
任何类型的网格都可以形成迷宫的指引线。在图11(a)中，一个六边形网格通过右(R)和左(L)两个方向导航，其中所示的序列创建了一个双螺旋，参见[1]和[3]。另一项发展是将网格与模块化拼块相结合。在图11(b)所示的情况下，旋转两个3 x 3模块，一个具有直线路径，一个具有转弯路径，以创建迷宫。
图11: (a)导航的六边形网格螺旋。(b)模块网格。
模块化拼块
模块化拼块是用于组合拼块游戏的类型。它们的设计使得无论它们如何边对边地组合，它们的表面细节都将排列成图案、轨迹或道路。在这种情况下，拼块被设计成创造迷宫或类似迷宫的结构。图12显示了四个方形迷宫拼块的例子。图13显示了四个等边迷宫拼块的例子。
图12:方块中的模块拼块配置。
图13:等边三角形的模块化拼块配置。
“切换”拼块
切换图块是具有等间距平行线的多边形，当放置在平行线网格上时，它们会准确地映射到平行线网格上，因此它们实际上消失了，但是，当它们旋转90°时，它们会创建“转弯”点，可用于创建迷宫或迷宫，参见[2]和图14。这个概念起源于[2]。开关，拼块可以应用于螺旋，见图15(a)和15(b)和同心多边形，见图15(c)和(d)，两者都是出现在[2]中的设计的副本。开关拼块创造了八角形迷宫，图16，对应于13世纪法国的兰斯圣母院-与沙特尔大教堂迷宫相同的路径逻辑。图15(d)中的六边形迷宫开关拼块是全新的。见图15(b ),开关拼块创造了螺旋迷宫，与克里特岛迷宫相对应，并且与柏林Staatliche博物馆中的克诺索斯青铜硬币上的迷宫惊人地相似，日期为公元30年至14年。
图14: (a)切换拼块。(b)在平行线上的中立和旋转位置切换拼块。
图15: (a)和(b)在螺旋上切换拼块。(c)和(d)切换同心六边形上的瓦片。
图16：在同心八角形上切换拼块创建了兰斯圣母院迷宫。
3D迷宫
有许多中世纪描绘克里特岛、罗马和希腊迷宫的作品，有些是有围墙的结构。希腊人赫多图斯描述了埃及迷宫结构的墙壁效果图，但是对遗址的挖掘没有发现任何东西来支持任何一种真正三维迷宫实际上被建造的想法。克诺索斯的硬币显示了迷宫的模压图像，主要是克里特岛迷宫，但这些只是没有任何基础的图像。普遍的看法是将迷宫放置在地下，或者至少是有墙的结构，但是所有的证据都指向地上无墙的结构——更符合莫斯科扎亚茨基群岛的草皮和岩石迷宫。换句话说，迷宫最有可能是地上的道路结构——山坡上、高原上和大教堂地板上的蜿蜒小路。也有可能雕刻或绘制迷宫的实际行为被认为具有类似西藏沙曼荼罗的情感或精神意义。
三维迷宫的三种类型
三维迷宫可以是二维迷宫的挤压，见[3]和图17(a)、(b)、(c)和图18(a)。图18(b)是一个立方体表面上的克里特迷宫。图18(c)是一个创建在4乘4立方网格上的三维迷宫，参见[2]。
图17 3D迷宫
图18：（a）挤压的迷宫，（b）克里特迷宫映射到一个立方体上，（c）一个4 x 4 x 4的网格。
结论
迷宫开始时可能是简单的涂鸦，但几千年来，它们已经成为象征，主要是生命的通道，并具有功能性，作为舞蹈、冥想和吟唱的路径。将迷宫绘制在网格和多边形上，以及更自由地绘制，可以增加其象征意义、功能和逻辑。不过，对许多人来说，他们可以只是玩玩，走走，和建造的乐趣。
参考文献
1 R. Burrows. Labyrinths 一 Hidden Geometry Apple Books, 2012. https://books.apple.com/us/book/labyrinths/id509585679
2 K. Fenyvesi, S, Japlan, L. Radovic. 'Tollowing in the Footsteps of Daedelus/' Bridges Conference Proceedings, Enschede, the Netherlands, July 27-31, 2013, pp. 361-36&
3 R. Burrows. 3D Thinking in Design and Architecture from Antiquity to the Present. Thames and Hudson, 2018.
4 J. Saward. Labyrinths & Mazes. Lark Books, 2003.
5 H. Kern. Through the Labyrinth: Designs and Meanings over 5000 Years. Prestel, 2000.
6 J. Kappraff, L. Radovic, and S. Jablan. "Meanders, Knots, Labyrinths and Mazes；' Journal of Knot Theory and Its Ramifications, vol. 25, no. 9, January 25th, 2016, pp. 1-15.
7 Animations of labyrinths, http://rogerburrowsimages.com/2018/01/2220/
8 Roger Burrows. Labyrinths: Mysteries and Methods
青山不改，绿水长流，在下告退。
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