微积分发展史1:源于面积

微积分发展史1:源于面积

首页休闲益智填满地板更新时间:2024-05-09

微积分有多重要相信大家多多少少心里都有点数,搞数学的不会微积分就跟中学生不会“加减乘除”一样,基本上啥都干不了。牛顿是物理学界的封神人物,然而牛顿还凭借着微积分的发明,跟阿基米德、高斯并称为世界三大数学家,这是何等荣耀?这又从侧面反映出微积分是何等地位?

除了重要,很多人对微积分的另一个印象就是难。在许多人眼里,微积分就是高深数学的代名词,就是高智商的代名词,许多家长一听说谁家孩子初中就学了微积分,立马就感叹这是别人家的天才。其实不然,微积分并不难,它的基本思想甚至是非常简单的,不然也不会有那么多初中生学习微积分的事了。

源于面积

我们从小学就学了各种求面积的公式,什么长方形、三角形、圆、梯形等等,然后“求阴影部分的面积”就成了小时候的一块心理阴影。

不知道大家当时有没有想过一个问题:好像我们每学一种新图形就有一个新的面积公式,可是,世界上有无数种图形啊,难道我要记无数种公式么?这太令人沮丧了!

更令人沮丧的是,还有很多图形根本就没有什么面积公式。比如我随手在纸上画一条曲线,这条曲线围成的面积你要用什么公式来算?但是,它确实围成了一块确定大小的区域啊,大小是确定的就应该能算出面积来,算不出来就是你的数学不行,对吧?于是,这个事就深深地刺痛了数学家们高傲的内心,然后就有很多人来琢磨这个事,比如阿基米德

如何求一条曲线围成的面积?

面对这个问题,古今中外的数学家的想法都是类似的,那就是:用我们熟悉的图形(比如三角形、长方形等)去逼近曲线围成图形的面积。这就好比在铺地板砖的时候,我们会用尽可能多的瓷砖去填满地板,然后这些瓷砖的面积之和差不多就是地板的面积。

阿基米德首先考虑抛物线:如何求抛物线和一条直线围成的面积?抛物线,顾名思义,就是你往天上抛一块石头,这块石头在空中划过的轨迹。如下图的外层曲线:

这条抛物线直线BC围成了一个弓形(形状像一把弓箭,涂了颜色的部分),这个弓形的面积要怎么求呢?阿基米德的想法是用无数个三角形去逼近这个弓形,就好像我们用很多三角形的瓷砖去铺满这块弓形的地板一样。

他先画了一个蓝色的大三角形ABC(这个三角形并不是随意画的,抛物线在A点处的切线必须跟BC平行。这里我们不细究,只要知道能够画出这样一个三角形就行)。当然,这个三角形ABC的面积肯定比弓形的面积小,小多少呢?显而易见,小了左右两边两个小弓形的面积。

如果我们能把这两个小弓形的面积求出来,加上三角形ABC就可以求出原来大弓形的面积了。但是,如何求这两个小弓形的面积呢?答案是:继续用三角形去逼近!

于是,阿基米德又使用同样的方法,在这两个小弓形里画了两个绿色的三角形。同样的,在这两个小弓形被两个绿色三角形填充之后,我们又多出了四个弓形,然后我们又用四个黄色的三角形去填充剩余的弓形……

很显然,这个过程可以无限重复下去。我们可以用1个蓝色,2个绿色的,4个黄色的,8个红色的等无穷多个三角形来逼近这个弓形。我们也能很直观地感觉到:我们使用的三角形越多,这些三角形的面积之和就越接近大弓形的面积。用三角形的面积之和来逼近这个弓形面积,这我没意见,但关键是你要怎样求这么多三角形(甚至是无穷多个三角形)的面积呢?

这就是阿基米德厉害的地方,他发现:每次新画的三角形的面积都是上一轮三角形面积的1/4。也就是说,2个绿色三角形的面积之和刚好是1个蓝色三角形面积的1/4;4个黄色的三角形的面积之和刚好是2个绿色三角形的1/4,那么就是1个蓝色三角形面积的1/16,也就是(1/4)²……

如果我们把所有三角形的面积都折算成第一个蓝色三角形ABC(用△ABC表示)的面积,那么大弓形的面积S就可以这样表示:

S=△ABC (1/4)△ABC (1/4)²△ABC (1/4)³△ABC……

这东西放在今天就是一个简单的无穷级数求和问题,但阿基米德是古希腊人,那是秦始皇都还没统一中国的年代,什么高等数学更是不存在的,怎么办呢?

阿基米德计算了几项,直觉告诉他这个结果在不断地逼近(4/3)△ABC,也就是说你用的三角形越多,面积S就越接近(4/3)△ABC。于是阿基米德就猜测:如果我把无穷多个三角形的面积都加起来,这个结果应该刚好等于(4/3)△ABC。

当然,光猜测是不行的,数学需要的是严格的证明,然后阿基米德就给出了证明。他证明如果面积S大于(4/3)△ABC会出现矛盾,再证明如果它小于(4/3)△ABC也会出现矛盾,所以这个面积S就只能等于(4/3)△ABC,证毕。

就这样,阿基米德就严格地求出了抛物线和直线围成的弓形的面积等于△ABC的4/3,他使用的这种方法被称为“穷竭法”。

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