作者:丛雨
审核:时光
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引言
要把探测器送往火星,总共需几步?一般来讲,从地球发向其他行星的探测器的飞行过程大致分为三个阶段:火箭发射升空并绕地球运行、变轨加速以脱离地球引力前往目标行星、抵达后在目标行星上环绕或着陆。其中一三阶段时间短但步骤和细节繁杂,而二阶段将占据飞行器旅程的大部分时间。本文将从航天器的运动和轨道问题出发,介绍天体运动和变轨问题的一些简单知识。
三种宇宙速度
我们将首先从航天器的速度问题开始。
众所周知,水平方向抛出的物体,初速度越快,落点越远,当它的速度达到7.9 km/s时,便再也无法落回地面,将仅在地球引力的影响下环绕地球做匀速圆周运动。这便是地球的第一宇宙速度,是发射人造卫星的最小初速度,也是以圆轨道绕地球运动的最大线速度。
如果发射时初速度达到约11.2 km/s,即地球的第二宇宙速度时,飞行器就能恰好完全摆脱地球的引力,且之后无需加速。天体的第二宇宙速度又称逃逸速度,以逃逸速度从天体表面沿任何方向发射的无动力物体,在引力作用下速度会慢慢减小,当飞行至无穷远时速度恰好为0。逃逸速度是第一宇宙速度的 倍,可用动能和引力势能( ,无穷远处为势能零点)相互转化来计算,这一过程中,动能逐渐转换成引力势能,直到无穷远处双双为0。
第三宇宙速度是同时脱离地球和太阳引力所需的最小发射初速度,与方向任意的第二宇宙速度不同,它要求飞行器的初始运动方向必须与地球公转相同,从而可以借助地球公转的速度,减少燃料消耗。根据上文可知,地球轨道处太阳的逃逸速度是圆轨道速度29.8 km/s的 倍,约42.1 km/s,因此飞行器除了需要二者相差的12.3 km/s对应的动能来脱离太阳引力,还需另外的11.2 km/s对应的动能以逃离地球,这两个动能数值之和对应的速度就是第三宇宙速度16.7 km/s。
显然,往返于地球与其他行星之间的行星际飞行器,目的地距离地球较远,可以说需要完全克服地球引力,但又不会离开太阳的引力范围,因此它们的速度通常介于 和 之间。
第二和第三宇宙速度的推导过程
不同速度的轨道
其次,我们考虑不同的轨道速度和发射方向所对应的具体轨道形状。
最简单的情形是物体沿水平方向抛出。第一宇宙速度 的轨道形状是圆形,假如速度略大于此,物体的向心加速度将大于引力所提供的,轨道将会是一个椭圆——以地球中心为焦点,发射位置为近地点。而随着初速度的增大,椭圆将越来越扁,远地点高度、半长轴和偏心率也慢慢增加,倘若以第二宇宙速度 发射,轨道的偏心率将变成1,半长轴和远地点距无穷大,也就是一个开放的抛物线轨道。如果初速度比 还大,飞行器相对地球的轨道将是双曲线的一支,偏心率大于1,半长轴在天体力学中被定义为一个负值。
而回顾一下那些发射速度小于 的平抛运动,严格来讲,它们的轨迹其实也是椭圆,只是初速度很小时,椭圆同样很扁,离心率无限接近1,因此可以当作抛物线来看待。这时的初始抛射位置是椭圆的远地点,近地点则在地球内部。
不同大小的水平发射速度的轨道形状
实际上,除去竖直向上发射这一种特殊情况,当物体的初速度分别小于、等于和大于 时,哪怕发射方向并非水平,轨道依旧会分别是椭圆、抛物线和双曲线,不过方向不同的情况下,椭圆或双曲线的半长轴和偏心率、抛物线的焦距也有所不同。对于这些方向并非水平的情形,若已知速度大小和矢径长度,我们可以通过计算物体的机械能来判断轨道形状和半长轴的大小,动能与势能之和小于、等于或大于0分别对应着椭圆、抛物线和双曲线轨道。由于二体问题中系统的机械能 ,继而可以求得它们的半长轴 。
以v1和v2沿不同方向发射时的轨道
变轨运动与霍曼转移
最后,让我们来到航天器的变轨话题上。由于实际的变轨和轨道设计必然极其复杂,因此以下只介绍一些简单的理论和思路。
考虑一艘在近地轨道以圆形绕地球运转的飞船或卫星,突然沿原本的运动方向点火加速。此时它的运动速度将大于此处的圆轨道环绕速度,向心加速度也将大于圆周运动所需,轨道变成以加速位置为近地点的椭圆轨道,这与我们上文谈论的地表速度介于 和 之间的情形相同。待它运行至远地点,飞船再沿运动方向进行一次适当的加速,使速度恰好等于当前距离的环绕速度,它便成功地变轨至一个半径比最初更大、高度比原来更高的圆轨道上——这就是变轨操作的基本思路。而降低轨道高度只需逆向操作,减速降至椭圆轨道,并在近地点再次减速即可。
卫星的变轨过程图示
当然,变轨后的轨道并不一定必须是圆,短时间内引擎单次点火释放的能量也许不足以抵达目标高度,可以等卫星环绕一圈返回初始位置后再次点火,或采用每次达到远地点都进行加速的多次变轨方式,此时的卫星轨道就是一个个大小不同的椭圆环环相套;加速(或减速)的位置也并不仅局限于远地点(或近地点),但是将目标轨道设置为远地点的方法,消耗的燃料是最少的——更大的初速度则代表着需要更高的初动能,而以恰到好处的初速度前往确定的位置,自然可以节约能量。
把上述双切轨道推广到不同行星之间也是一样的,这种以内行星轨道上的某一位置作为近日点、外行星轨道上的某一位置作为远日点,且与两行星轨道均相切的轨道被称作霍曼转移轨道,是行星际旅行最节省能源的路线。飞往外行星时沿地球公转方向加速,靠近目标行星时再次加速追赶;前往内行星时朝公转的反方向减速,接近目标行星时再次减速停留。因为太阳系的诸多行星处于不断的运动之中,它们与地球的相对位置也在时刻改变,所以行星际飞行器发射的最佳时机是呈周期性变化的,它等同于地球和目标行星的会合周期。
地球到火星的霍曼转移轨道
霍曼转移由于路程远且速度慢,消耗的时间太长,某些时候仅仅为了节约燃料却浪费大量时间似乎有些得不偿失,因此还可以采用抛物线轨道,即需达到地球轨道处太阳的逃逸速度(相对地球的初速度当然是16.7 km/s),在出发和抵达阶段花费更多燃料加速和减速。下表列出了去往各行星所需的时间,可以看出与双切霍曼转移轨道相比,抛物线轨道的确耗时极短。
霍曼轨道和抛物轨道的所需时间对比
最后值得一提的是,各大行星轨道都并非正圆,且轨道倾角各不相同,不仅如此,行星际飞行器的飞行途中还要计算目标之外行星的引力摄动,甚至太阳爆发的影响和穿越小行星带的安全问题也是必须考虑的,真实的轨道设计工作自然不是三言两语能够讲述清楚的,本文便只做这些简略介绍,权当抛砖引玉之用。
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来源:APC科学联盟
编辑:深浅
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