2024百校二几何压轴数学22题。
同学们好，今天一起挑战的是2024年山西百校二的第22题。
·来看一下这个题目，老师让同学画一个rt三角形，使得b、a、c等于九十度，点的是bc边上的中点，所以接下来其实第一个关键点就出现了，这是中点就是斜边中线，就有a的等于b得等于c得，就是读条件的时候一定要边读边写它的隐藏条件。
·接下来连接a得，进行以下的操作。在线段a得上取一点e，取一点e以得e为半径画弧，c得交c得于点f，说明一个问题是什么？以它为圆心，它为半径画弧，然后交过来，说明得e和得ff是相等的。
·继续来看，以得为圆心，以得e长为半径，这是第二步。接下来分别以e和f为圆心，得e为半径画弧交于点缀，说明什么？以它为圆心，得e为半径画了一个，以f为圆心，得e为半径又画了一个，那是不就告诉我们，第一个告诉我们得e和得e j是相等的，第二个告诉我们f j和得e是相等的。
所以给大家写写，第一个告诉我们就是得e等于e g，第二个就是得e等于f g，还有第二步的一个得e等于得f，很简单，就说明这四条边都相等，它就是个菱形，对吧？所以第一个形状是什么？形状是菱形，依据是什么？四条边都相等的四边形是菱形。
·接下来说ae等于cf的数量关系，ae和c，ae和d f相等，剩下的这一段当然也相等，所以ae等于cf。
·接下来第二个以得为与旋转中心，将这个四边形菱形其实是按照顺时针方向去转到图二的位置，让我们去判断ae和cf的数量关系。把这个图给大家放大，判断ae和cf的关系。
相信很多同学看到这第一反应肯定是什么？很好，全等，所以其实想要去判断这两个三，所以想要判断它俩全能的来看一下，其实最开始的点就在a的这条边上，f是在的c这条边上，所以其实从旋转的角度来看它的旋转角，得e的旋转角就是a得e，然后f的旋转角就是c得f。
所以如果对于旋转理解很透彻，旋转角肯定是相等的，然后又知道得e是等于得f的，a得是等于c得的，所以构成了一个sas的全等，就不给大家写过程了。全等这俩三角形全等，那你的ae和cf就相等了。
所以从这个角度来看，大家看一下，其实本质上是靠旋转带出来的一个手拉手，我们给大家画一下这俩等边三角形共点的手拉手旋转。
·我们来看第三问，如图三角，a、b、c等于三十度角，a、b、c等于三十度，上面是垂直，所以这是六十。告诉我们，a、b等于六，那这a、c就是二跟三，然后b、c就是四跟三，得是终点，所以这是二跟三，c得也是二跟三，得e等于二，得f等于二，f、j、e、j，因为它是菱形，将四边形得e、j、f，按顺时针还是转到这个方向，使得f在bc下方连接ef，使得efc三点贡，efc三点贡，让我们去求ace的三角形面积。
还是把这个图放大我们来看一下，整个题目中我们把能够标注的先标一下，a、c等于二，二倍根号三，那我们就能够知道，c得是二跟三，a得是二跟三，那这就是六十度，也就是说这个三角形是个等边三角形，所以在这个里面让求的是这个三角形的面积。
这个三角形的面积其实如果让我们去求，我们在这给大家说上这么几个方向。
·第一，在考场上我们大家应该猜到它应该是个直角三角形，这是垂直，这也是垂直而且是个特殊的。如果你要求面积可以ae乘它的勾，或者是ac乘ec，所以现在落在我们就是第一个我如何证明这是垂直标个字母吧，标个字母n，我如何证明ae垂直c的，我如何证明ac垂直ec，你这哪个都可以我们来看一下。
·第二，问里面我们给大家说过它其实是个手拉手旋转的全等，所以在这里面我们还是把这两个全等给大家标出来。第一个是什么呢就是a得e，这个三角形和哪个三角形全等和c得e全等和c得e全等，所以这俩三角形全等的我们就能够知道。
首先第一个a得c是六十度这个是我们知道的。接下来这个三角形既然是手拉手全等的我们就能够知道，如果是六十，那这个角加这个角是不相等减去公共角，那这个角也是六十，对所以这是个六十，那def也是一个等边三角形。
接下来我们说的cf和你的得ae是相同的，那这个六十是不是就跑到这了，所以这也是六十，这就是六十因为三点贡，所以三个六十就可以写在这了。
接下来看一下如何正垂直给大家两个方向。
·第一个，现在其实想要证明的是ae垂直平分c的，因为什么？垂直肯定就是平分，上面是个等边三角形。现在知道的是什么？现在知道的是第一个方法，a得等于ac，说明a是在c得中垂线上，只需要证明什么？得e等于ce，是不是就可以了？
如果证明得e等于ce，a得等于ac，说明ae形成的这条线就能够垂直平分c得，所以现在任务就是如何证明它俩相等？如果要证明ce也等于二，如果想要证明ce也等于二的有这么两个方法。
第一个，证明什么？cf等于四，因为这已经是二了，证明cf等于ae等于四就可以了。所以第一个里面来看一下ae能不能算出来，ae能不能算出来ae这个三角形其实已经有两条边了，而且还有一个特殊的角度六十度，所以如果把这个图形复制出来，就长这个样子，上面是a点，下面是e点，这是二跟三，这是六十度，这是六十度。
需要求证的是什么？求证的是这条边等于四。接下来想能够做什么辅助线是不过点的，做垂直，所以过点的做垂直，垂直m在下面这个小三角形的m1中，如果的一是二，这就是一，这就是根号三。
在上面这个三角形中也没有角度，但是可以用勾股定理，因为它有垂直，所以这样其实就是二倍根号三的平方减去根号三的平方，开根号会发现等于三，所以能够求得出ae是等于缩小，ae是等于四的，c f是不是就是四？ae等于c f等于四，所以就能够求出ae等于二，ae等于二的就知道ae和c的是垂直平分的关系，垂直平分就相当于证明出这是垂直了。
拿个红笔就比较重要的垂直在这，面积就等于什么？这是四，这是多少？这是根号三，所以第一个方法下的面积其实就等于二分之一乘四乘根号三等于二倍根号三。
·第二个，在这个里面第一问求的是得e g f，它是一个菱形，菱形有它独特的特征就是对角线是垂直的，所以得dj是垂直ef的，就可以把dj连起来用垂直，这个垂直是确定的，因为它一定是个菱形，所以垂直垂到这儿还是这儿写一个m。
现在知道这是垂直ef的，那得这垂直ef以后来看一下目的是什么？目的是求证出a得等于ac，得e等于ec，所以从这个角度来看一下知道的是得e m，这是一个得e是二，是个三六九，所以用红笔写e m就是一，那这就是根号三。
又知道这条边c得是多少？c得是二倍根号三，c得十二倍根号三，就能够在这个直角三角形中能够算出，因为它是贡线的，所以这个大家不用去担，能够算出c e、r c根号三的平方减去根号三的平方，那就知道c m就是三，那就求出c e就是二。
所以第二个方法其实就是放在rt三角形c得m中，能够知道的是得m等于根号三，c得等于二倍根号三，所以用勾股定理去算，c m就等于三，而e m就等于一，那就知道c e等于二，c e等于二，大家想要去用这个垂直也是可以的。
得ec就是个等腰，等腰外角是六十，上面这俩都是三十，所以这也是垂直的，都可以。也可以回归到刚刚讲到的ae和c的是垂直平分的关系就ok了，它的面积也是一个道理。
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