数值基础：路飞、索隆、乌索普开枪决斗，谁将获得船长宝座？（锵锵大作战游戏）

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路飞、索隆、乌索普谁能成为船长？

路飞开枪命中概率是30%，索隆50%，乌索普100%，被打中的人退出船长争夺，如果按照路飞、索隆、乌索普的顺序循环出手，不得放空枪，每次只能对一人开枪。

问：每个人最佳开枪策略是什么？各自获胜几率是多少？

解题思路

路飞和索隆都应该先开枪打乌索普，否则两人互相射击出局一个，胜出的那个也会被乌索普100%出局。由于乌索普在出手时100%命中任何人，所以应该先打命中率较高的索隆。

因此，三人的最佳出手策略顺序是：

路飞：先乌索普，后索隆。

索隆：先乌索普，后路飞。

乌索普：先索隆，后路飞。

【路飞胜出几率】

情况1：路飞打中乌索普

0.3

然后路飞与索隆对决，【索隆先手】，路飞打中索隆可能如下：

1轮，索隆未打中路飞，路飞打中索隆

即（1-0.5）*0.3

2轮，第1轮相互未打中，第2轮索隆未打中路飞，路飞打中索隆

即（1-0.5）*（1-0.3）*（1-0.5）*0.3

3轮，第1轮相互未打中，第2轮相互未打中，第3轮索隆未打中路飞，路飞打中索隆

即（1-0.5）*（1-0.3）*（1-0.5）*（1-0.3）*(1-0.5)*0.3=（1-0.5）^3*(1-0.3)^2*0.3

n轮，第1轮相互未打中，第2轮相互未打中，......，第n轮索隆未打中路飞，路飞打中索隆

即（1-0.5）^n*(1-0.3)^(n-1)*0.3=3/7*（7/20）^n

Sn =3/7*(7/20)^1 3/7*(7/20)^2 3/7*(7/20)^3 ...... 3/7*(7/20)^n

=3/7*[7/20 (7/20)^2 (7/20)^3 ...... (7/20)^n]

等比数列求和公式

=3/7*{7/20*[1-(7/20)^n]/(1-7/20)}

=3/13*[1-(7/20)^n]

n趋近与无限大时，(7/20)^n=0，那么

Sn = 3/13

P1=0.3*Sn=0.3*3/13=0.06923

情况2：路飞未打中乌索普，索隆打中乌索普

（1-0.3）*0.5=0.35

然后路飞与索隆对决，【路飞先手】，路飞打中索隆的可能如下：

1轮，路飞打中索隆
即0.3
2轮，第1轮相互未打中，第2轮路飞打中索隆
即（1-0.3）*（1-0.5）*0.3
3轮，第1轮相互未打中，第2轮相互未打中，第3轮路飞打中索隆
即（1-0.3）*（1-0.5）*（1-0.3）*（1-0.5）*0.3=0.3*（7/20）^2
n轮，第1轮相互未打中，第2轮相互未打中，......，第n轮路飞打中索隆
即0.3*（7/20）^(n-1)=6/7*(7/20)^n

Sn =6/7*(7/20) 6/7*(7/20)^2 ...... 6/7*(7/20)^n

=6/13*[1-(7/20)^n]

=6/13

P2=0.35*6/13=0.16154

情况3：路飞未打中乌索普，索隆未打中乌索普，乌索普打中索隆，路飞打中乌索普

P3=（1-0.3）*（1-0.5）*1*0.3=0.105

P[路飞]=P1 P2 P3=0.06923 0.16154 0.105=0.33577

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【索隆胜出几率】

情况1：路飞打中乌索普

0.3

然后路飞与索隆对决，【索隆先手】，索隆打中路飞可能如下：

1轮，索隆打中路飞
即0.5
2轮，第1轮相互未打中，第2轮索隆打中路飞
即（1-0.5）*（1-0.3）*0.5
3轮，第1轮相互未打中，第2轮相互未打中，第3轮索隆打中路飞
即（1-0.5）*（1-0.3）*（1-0.5）*（1-0.3）*0.5=10/7*（7/20）^3
n轮，第1轮相互未打中，第2轮相互未打中，......，第n轮索隆打中路飞
即10/7*（7/20）^n

Sn =10/7*（7/20） 10/7*（7/20）^2 ...... 10/7*（7/20）^n

=10/7*7/20*[1-（7/20）^n]*20/13

=10/13

P2=0.3*10/13=0.23077

注释：路飞与索隆对决，索隆先手时，索隆打中路飞的S[n索隆]=1-S[n路飞]=1-3/13=10/13

P2=0.3*10/13=0.23077

情况2：路飞未打中乌索普，索隆打中乌索普

（1-0.3）*0.5=0.35

然后路飞与索隆对决，【路飞先手】，索隆打中路飞可能如下：

1轮，路飞未打中索隆，索隆打中路飞
即（1-0.3）*0.5
2轮，第1轮相互未打中，第2轮路飞未打中索隆，索隆打中路飞
即（1-0.3）*（1-0.5）*（1-0.3）*0.5
3轮，第1轮相互未打中，第2轮相互未打中，第3轮路飞未打中索隆，索隆打中路飞
即（1-0.3）*（1-0.5）*（1-0.3）*（1-0.5）*（1-0.3）*0.5=（7/20）^3
n轮，第1轮相互未打中，第2轮相互未打中，......，第n轮路飞未打中索隆，索隆打中路飞
即（7/20）^n

Sn =7/20 （7/20）^2 ...... （7/20）^n

=7/13*[1-(7/20)^n]

=7/13

P3=0.35*Sn=0.35*7/13=0.18846

注释：路飞与索隆对决，路飞先出手时，索隆打中路飞S[n索隆]=1-S[n路飞]=1-6/13=7/13

P[索隆]=P1 P2=0.23077 0.18846=0.41923

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【乌索普胜出几率】