第83回
水帘洞口，洞前小雨沥沥下
工艺厂内，圆形铁皮做圆锥
话说花果山的水帘洞前，瀑布飞流，直泻而下，溅出的水珠犹如小雨落在门洞前，弄得地上满是水渍，不仅脏而且滑。为了解决这个问题，孙悟空决定在门洞上修建一个遮雨罩，他自己设计自己绘图。
遮雨罩是一种玻璃钢制品，它的顶部是圆柱侧面的一部分(如图1)，它的侧面边缘上有两条圆弧(如图2)，其中顶部圆弧AB的圆心
在竖直边缘AD上，另一条圆弧BC的圆心
在水平边缘DC的延长线上，其圆心角为90°（图中所标示的尺寸单位为米）.孙悟空把这件小工程承包给某家公司，在讨论承包费时双方讨价还价.承包公司的老板开价60000元.
"你们是根据什么计算需要这么多费用的？"悟空问.
"我们开价的理由是按修建所需要的玻璃钢制品材料的面积计算的."老板说，"每平方米费用200元（包括材料费和安装费）这是市场价，你这个遮雨罩估计起码也有300多平方米，按300平方米计算已经是最少的了."
"不。"悟空讨价还价说，"我初步计算了一下，这个遮雨罩只有200多平方米，给你45000元你们肯定是不吃亏的."
"既然如此，那就按实际修建的面积计算吧."老板退了一步说，"你先付50000元作为购买材料的费用，完工后再多还少补，怎么样？"
"OK！爽快，成交."
那么，这个遮雨罩大约需要多少平方米的玻璃钢材料呢？
"猴哥，俺老猪来也！"
"来得正好.八戒，你就帮我算算吧，我得忙其他的事。"
原来，八戒在高老庄的养猪场全权交给总经理，他经常有事没事就往花果山跑，没事就和大师兄聊聊天，偶尔碰到有事就帮帮忙.
悟空把图纸交给八戒，他仔细阅读了图1、图2的信息，然后进行了如下的思考：
遮雨罩是由顶部和两侧三部分组成的，顶部是圆柱侧面的一部分，它的面积是弧AB的长与圆柱高18米的乘积，要计算它的面积需要先求弧AB的长，而要计算弧AB的长，需要先求扇形O1AB的半径和圆心角；侧面是不规则图形，先添加辅助线把它化为几个规则图形的和、差.
连接O1B，设弧AB的半径为R.
在Rt△O1BE中，由勾股定理得
R2=36 (R-5)2，解得R=6.1.
由sin∠BO1E=BE/R=6/6.1≈0.9836，得∠BO1E≈79.61°，
所以弧AB的长=79.61л×6.1/180≈8.48（米）；
扇形O1AB的面积=1/2×8.48×6.1≈25.86（平方米），
扇形O2BC的面积=90л×16/360=4
≈12.57（平方米），梯形O1BO2D的面积=1/2×（2.9 4）×6=20.70（平方米），
所以遮雨罩一个侧面的面积=扇形O1AB的面积 梯形O1BO2D 的面积-扇形O2BC的面积=25.86 20.70-12.57=33.99（平方米）；
又遮雨罩顶部的面积=8.48×18=152.64（平方米）.
所以遮雨罩的总面积=33.99×2 152.64=220.62（平方米）.
因此，制做这个遮雨罩的造价大约为220.62×200=44124（元）.
解决遮雨罩问题后，悟空也刚好忙完了自己的事，他带着八戒参观花果山刚开业不久的一个纪念品生产工艺车间，专门生产具有花果山特色的旅游纪念品.
在研发部那里，设计人员准备利用一种圆形的铁皮余料制作圆锥工艺品，他们的设计方案是从如图3的圆形材料中剪下一个圆心角为90°的扇形作为圆锥的侧面，然后打算在剩下的三块余料中选出较大的第③块这块余料再剪出一个圆作为圆锥的底面。
经过多次尝试后都无法如愿以偿，于是几个设计人员开始怀疑余料圆的半径是不是太小了？还是扇形太大了？
工作人员的讨论声吸引了悟空的注意，他和八戒走过去问道："你们在争论什么？"
工作人员把他们的想法告诉他。孙悟空略一思索马上断言："如果不改变扇形的大小，不管余料圆的半径是多少，剪出圆心角为90度的扇形后，余下的③这块余料是不可能剪出一个圆与侧面组成圆锥的。"
"猴哥，你又没有尝试过怎么就敢如此断言呢？"八戒十分纳闷。
"我是这样想的。"悟空说，"假设圆形材料的半径为R，扇形ABC围成的圆锥底面半径为r.
连接BC，因为扇形ABC的圆心角为直角，
所以BC是直径，所以BC=2R，
由勾股定理，得：AB=AC=√2R，
所以扇形的半径是√2R，
所以弧BC的长l=90л·√2R/180=√2ЛR/2，
此即扇形ABC围成的圆锥底面的周长，
所以，2лr=√2Лr/2，2r=√2R/2，
即圆锥的底面直径2r=√2R/2。
延长AO交弧BC于E，交圆O于F，则EF是圆O剪掉扇形ABC后余下的③这块余料的最大宽度。
因为AF=2R，AE=√2R，
所以EF=AF-AE=2R-√2R=(2-√2)R，
而2-√2＜√2/2，R＞0，
所以(2-√2)R＜√2R/2，
即EF＜2r，
这表明利用余料③剪出的最大圆比扇形围成圆锥底面圆小，
所以不管圆O的半径R是多少都无法从③这块余料剪出圆锥的底面。"
"原来如此啊！难怪我们比划了半天也没能比划出来。"设计人员问道，"孙总，您说扇形的圆心角为多少度时，③这块余料可以剪出的最大圆恰好与扇形围成的圆锥侧面组成圆锥呢？"
"这个问题我没有想过，我们来共同探讨吧。也许存在，也许不存在。"悟空说，"首先假设扇形ABC的圆心角∠BAC为n°。"
"再同样假设圆O的半径为R，圆锥底面半径为r。"八戒说，"根据③的最大宽度EF=2r与R的关系列出关于n的方程，再确定n的大小。"
"八戒说的没错。"悟空说，"因为AF=2R，EF=2r，
所以扇形ABC的半径AE=AF-EF=2R-2r，
当扇形ABC的圆心角为n°时，
BC的长l=nл(2R-2r)/180=лn(R-r)/90，
此即扇形ABC围成的圆锥底面的周长，
所以2лr=лn(R-r)/90，
2r=n(R-r)/90……"
"如何列出关于n的方程呢？"
"别急。"悟空说，"如图4，连接BF，则∠ABC=90°，
在Rt△ABF中，AB=AE=2R-2r，AF=2R，∠BAF=n°/2，
所以cos∠BAF=AB/AF=(2R-2r)/(2R) =1-r/R，
所以cos(n°/2)=1-r/R.
由上述2r=n(R-r)/90，得
180r=nR-nr，(180 n)r=nR，
所以r/R=n/(180 n)，
所以cos(n°/2)=1-n/(180 n)，即cos(n°/2)=180/(180 n)。
至此可以发现：圆心角度数n为有理数是不存在。"
"为什么呢？"
因为在方程cos(n°/2)=180/(180 n)中，0<n<180，
如果n为有理数，则方程的右边180/(180 n)是有理数，
而左边cos(n°/2)只有当n=120时才是有理数，
此时方程的左边cos(n°/2)=cos 60°=1/2，
右边180/(180 n) =180/300=3/5，
左边≠右边，所以n=120不是方程的解。
当n≠120时，方程的左边为无理数，右边为有理数，总是无解。"
"原来如此。"
欲知后事如何，请看下回分解.
