在精算学中，生命表也称死亡率表或精算表。生命表通常以10万（或100万）人作为0岁的生存人数，然后根据各年中死亡人数，各年末生存人数计算各年龄人口的死亡率、生存率，列成表格，直至此10万全部死亡为止。生命表上所记载的死亡率、生存率是决定人寿保险费的重要依据。是反映一个国家或一个区域人口生存死亡规律的调查统计表。
即追踪一批人，逐年记录该人群的死亡人数，得到该人群从出生到死亡为止的各年龄死亡率，并进一步构成表格式模型，称为生命表。
一、生命表简介
1、 生命表的编制
生命表可以依据实际同时出生的一批人资料编制，即纵向跟踪这批人从出生到死亡的的全部过程。这种生命表成为实际同批人生命表。但在实际中很难取得这批人死亡事件的完整资料，而且这种生命表只能是历史的追述，不能说明现在某个时期的死亡水平。
通常采用假设同批人方法编制生命表，即把某一时期各个年龄的死亡水平当成同时出生的一批人各个年龄的死亡水平看待。这样编制的生命表称为时期生命表或假设同批人生命表。
2、 生命表的分类
在人口分析中，可按性别、地区、种族等对人口进行分类，从而分别编制反映各类人口死亡规律的生命表。
I、 国民生命表和经验生命表：国民生命表根据全体国民或特定地区的人口统计资料编制的统计表；经验生命表是寿险公司根据被保险人的死亡记录所编制的生命表。由于寿险公司要求被保险人体检合格后才予以承保，所以，经验生命表的死亡率通常低于国民生命表的死亡率。
II、 寿险生命表和年金生命表：由于逆选择现象的存在，选择年金的人一般对身体健康状况较为乐观，而选择寿险的人对身体状况不太乐观，这两类人群的死亡率是有明显区别的。寿险公司有必要对这两类人群分别统计，从而得出寿险生命表和年金生命表。
III、 男性生命表和女性生命表：统计表明，女性的寿命要高于男性的寿命、同龄的男性的死亡率高于女性，对寿险公司来说，有必要根据性别采用不同生命表。
IV、选择表和终极表：在保险实务中，通常在常规生命表（国民生命表）的基础上设定一个选择期。在选择期内使用死亡率相对较小的选择生命表，等选择期过了之后，又回复到常规生命表，即所谓的选择 – 终极生命表。
3、生命表的特征
- 设定了期初总人数；
- 随着年龄的增加，活着的人越来越少，到最后活着的人为零，死亡的总人数等于期初总人数；
- 有极限年龄。
二、生命表的构成要素
1、 派生的生命表结构
2、生命表的基本函数
I、生存人数：lx
lo表示期初总人数，lx表示在x(0 ≤ x ≤ ω)岁还活着的人数。lx随着x的增大而单调递减，并且lω=0。如果有生存函数S(x)，则有，lx = lo × S(x)。
II、死亡人数：dx
dx表示在x(0 ≤ x ≤ ω)岁内死亡的人数，即x岁的人在未来一年内死亡的人数，dx = lx - lx 1。
如果用kdx表示x岁的人在未来k年内死亡的人数，kdx = lx - lx k。这里简记，1dx = dx。
III、死亡概率：qx
qx表示(x)在未来一年内死亡的概率，则，
同理，(x)在未来k年内死亡的概率为，
这里简记，1qx = qx
IV、生存概率：px
px表示(x)活过未来一年的概率，则，
显然，
这里简记，1px = px
进一步地，(x)在存活t 年后，在未来μ 年内死亡的概率为，
V、生存人年数：Lx
Lx表示所有被考察的在未来1年内存活的总时间数，其单位为“人年”。人年数是表示人群存活时间的复合单位，1个人存活1年是1人年，2个人每人存活半年也是一人年。在死亡均匀分布的假设下，x ~ x 1岁的死亡人数dx平均存活了1/2年，而活到Lx 1岁的人活了1年，故，
同理，(x)在未来n 年内存活的总时间数为，
这里简记，1Lx = Lx
VI、累积生存人年数：Tx
Tx表示(x)未来累积生存人年数,
在均匀分布条件下，
VII、平均余命：ex
ex表示(x)的平均剩余寿命，
VIII、中位死亡率：mx
mx表示(x)平均每存活一年会发生的死亡数，
IX、平均生存年数：α(x)
α(x)表示在x ~ x 1之间死亡的人在这一年的平均生存时间，
3、生命表运用
【例2.1】动物学家研究一种鸟的死亡模型，发现这种鸟的死亡率如下：
假设，lo = 100，试构造这种鸟的生命表。
解：
表中，
- 生存人年数Lx：【E3=D3/2 (C3-D3)】
- 累计生存人年数Tx：【F3=SUM(E3:E$7)】
- 平均余命ex：【G3=F3/C3】
复制、粘贴E3：G3到E7：G7即可。
【例2.2】已知40岁的死亡率为0.04，41岁的死亡率为0.06，而42岁的人生存至43岁的概率为0.92。如果40岁的人生存人数为100人，求43岁时的生存1人数。
解：
【例2.3】假定有两位老人今年都是65岁，甲老人今年刚刚体检合格购买保险，乙老人是10年前购买的保险，至今仍在保障范围内。利用选择 – 终极生命表“表2-2”估计两位老人能活到73岁的概率。
解：甲老人刚刚参保，前5年应使用死亡率较小的选择生命表，5年期满后回归到终极生命表。乙老人已经参保10年，选择期已过，应一直使用终极生命表。
甲老人：
乙老人：
【例2.4】现有生命表如下：
（x） | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 |
Lx | 1000 | 800 | 400 | 100 | 0 |
假设死亡在年内均匀发生，求：
- I、这群料人在70岁时的期望剩余寿命；
- II、这群老人在71岁时的中位死亡率；
- III、这群老人在72岁时的平均生存时间。
解：
注：死亡在年内均匀发生时，α(x) = 1/2。
【例2.5】25岁到75岁之间死亡的人群中，其中30%在50岁之前死亡。25岁的人在50岁之前死亡的概率为0.2，计算50岁的人再存活25年的概率。
解：已知，
4、非整数年龄存活函数的估计
I、余寿、整数余寿和中值余寿
当某人余寿为48.65时，整数余寿为48。
中值余寿指(x)的余寿Tx的中值，(x)在这一年之前和之后死亡的概率均为50%，记为mx，
则，
即，
【例2.6】设，
求T(50)的中值m(50)。
II、非整数年龄存活函数的估计
生命表是以整数年龄分组编制的，但在精算实践中，常常需要非整数年龄存活或死亡率，如40岁的人存活半年的概率0.5P40，40岁的人在3个月内死亡的概率0.25P40等，这需要在一定假设下利用生命表函数进行估计。
第一种假设：均匀死亡假设
假设死亡在整数年之间均匀发生，此时存活函数是线性的，即，
【例2.7】已知，
在每一年内死亡均匀分布条件下，求0.5q30、μ30.5、5.25q50
解：
【例2.8】根据生命表2-3，假设死亡人数在每一年内为均匀分布，求，
- I、4/3P1；
- II、一个新生儿存活到1岁，但在随后2个月间死亡的概率。
解：
第二种假设：死亡力恒定假设
当假设死亡力在x ~ x 1上恒定时，μx t = μ（x为整数，0 ≤ t ≤ 1）。在年内采用几何插值法，即，
其中，
【例2.9】已知，
在每一年内常数死亡效力条件下，求0.5q30、μ30.5和5.25q50。
解：
第三种假设：Balducci假设
假设死亡在整数年之间服从Balducci假设，在年内采用调和插值法，即，
在以上三种假设中，Balducci假设比较复杂，并且这种假设与实际误差最大，因此很少使用这种插值法。相比之下第一种线性插值法与实际误差最小，且形式简单，应用最多。
参考文章：
