伽利略说可以用对数来创造整个宇宙，对数有这么重要？

我国古代著名天文学家 数学家 郭守敬

大约文艺复兴时期，欧洲近代科学开始起步，天文学的发展也走上了高速轨道，丹麦天文学家第谷通过肉眼观测留下了海量的极为精准的观测数据，这些数据也为他的学生开普勒发现行星运行三大定律做了数据基础。望远镜诞生之后，伽利略用自己发明的望远镜观测到木星有4颗卫星，并且发现了土星环。

近代物理学先驱 伽利略

然而仅仅通过观测是很难揭露出星体运行的本质的，了解万有引力定律的同学都知道，如果想计算行星的质量，则必须要先得到两个星体之间的距离。在那个没有任何计算工具的时代，人们只能从海量的观测数据里去寻找，然后计算，这里的计算可不止是加减乘除或者开方什么的运算。在计算行星周期的时候，就必须要在不同季节，不同位置采集大量数据，通过这些数据之间的内在关系，推导出周期的大概数值，再通过理论计算的数值，与实际采样点的观测结果比较，如果误差极小，那么就说明就已经从理论上算出了这个行星的运动规律。知道了运行规律之后，天文学家们就可以预言这个星体的某些天象。

现在我们都可以通过很多公式来推算太阳系的行星运动规律，在500年前，问题可大不一样。往往天文学家观测星体运动只要一个月，然后分析计算数据却要好几年。我们通常都把很大的数字叫作天文数字，顾名思义，但凡涉及到天文学方面的计算，数量级通常都大得惊人，如果对于这么大的数据来进行多次乘方，开方运算，可想而知，这样的工作量该有多恐怖。所以那个时代的天文学家其实更加像是星象观测者和计算工作者。

天文学家们很期待，可以发明出一种简化计算法来代替那些复杂枯燥的大数值计算。

很快一位叫纳皮尔的男爵做了这项工作，1550年，纳皮尔出生在苏格兰，是一位神学家，同时也精通数字计算。纳皮尔兴趣在球面三角学的有关计算，而球面三角学又跟天文学密切相关。

纳皮尔男爵与《奇妙的对数定理说明书》

纳皮尔的对数思想来自下面的两组数列：

• 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10...
• 1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024...

假设我们现在要去算16×512，按照传统的方法，那就只能从表面直接去计算，毫无疑问，这样的计算繁杂不堪（当然实际上基本不会出现这样浅显的“繁杂计算”）。纳皮尔注意到，上下两个数列的关系，容易看出16=2^⁴ ，512=2^⁹ ，因此16×512=2^⁴×2^⁹=2^¹³ ，于是，我就只要在第二个数列中找出第一列中13对应的那个数字就行了。纳皮尔把第一个数列就叫作对数，在纳皮尔那个时代还没指数的概念，指数和对数的互逆性质一直到18世纪的欧拉才发现。但是他的这种简化计算的思想跟现在完全相同，只不过那个时候“底”这个概念也是缺乏的。我们现在很清楚了，纳皮尔实际上是发现了计算规则

1594年，纳皮尔对于对数的思想正式萌芽，经过20年的研究，1614年，他将自己研究成果写作成著作《奇妙的对数定理说明书》一书，书中系统阐述了对数的理论知识，同时附上了一套正弦对数表。此书一出，立刻引起轰然大波，最为惊喜的当然是痛苦的天文学界。对数问世之后，伦敦的一位数学教授布立格斯最先意识到对数的划时代意义，绝不仅仅只是为了简化天文学方面的计算，在纯数学上更是有着极大的普适性。于是，他在1616年拜访了纳皮尔，建议纳皮尔编写以10为底的对数表，以10为底将会更加简化计算，那个时代已经有了十进制的科学计数法。两位数学家相见如故，纳皮尔很快就接受了布里格斯的建议。可惜，事与愿违，纳皮尔在第二年就去世了，以10为底的对数表就这样搁置了。于是，布里格斯教授继承了纳皮尔的遗志，穷尽7年时光，造出了以10 为底的1到20000，90000到100000之间的对数表，剩下的20000—90000之间的数据，在1628年由荷兰数学家佛拉格补充完全。于是，现在我们用的对数表就这样完全诞生了。一直到21世纪初，中学的教材里都会附加一本《常用对数表》。

近代天文学先驱 开普勒

开普勒也几乎在同时代发现了三大行星运动定律。牛顿说“他的成就是站在巨人的肩膀上得到的”，开普勒绝对算是这些巨人之中的一个。开普勒在获得第谷完整的观测数据之后，经过6年的大量计算得到了第一，第二运行定律，又经过了9年的大量计算才获得了第三运动定律。在此之前，开普勒已经知道

数学上的直觉让他认为，公转周期和太阳距离之间一定存在着某种关系，这些看似毫不相*数据内在肯定存在一条普遍成立的规律。开普勒对这些数据进行过数不尽的腾挪变换，始终得不到一个完整的定律。就在无穷无尽的计算之海中，开普勒看到了纳皮尔的对数理论，于是他开启了一段新的思路。他对这周期和太阳距离做了下面的变换：

这里的T^2 ,R^3 吻合得令人咋舌，让人不得不相信这样的内在关系，于是开普勒第三运动定律终于诞生。

现在我们知道，即使在没有第谷的任何观测数据的情况下，用微分方程来分析，就可以从理论上直接推导出三大行星运行定律。但是当时的数学工具匮乏，即使是像开普勒这样精于计算的数学大神也要花费20年才能得出最终的结论。现在看来，假如没有纳皮尔对数的思想来启发开普勒，可能第三定律还要困住他很久很久。

永恒的行星运动

至此，对数对于现代科学的影响已经不仅仅是在天文学上，也扩散到了几乎所有的自然科学领域，计算上获得了巨大的改进，节省下来的时间足以让人们做更多的探索。

伽利略说：“给我时间，空间和对数，我就可以创造出整个宇宙。”这当然是夸张的说法， 也从侧面说明，对数的发展是多么地及时有效。恩格斯更是把解析坐标系，对数，微积分作为17世纪数学界最伟大的发明。

纵观整个数学的发展史，通常里程碑式的发展都是因为重大工具的发明引起的。比如对数，微积分的发明。在这些工具出现之前，人们去一个远方就只能步行过去，快的人要有一个月，慢的人甚至要一年，这些工具出现之后，人们才开始坐上了汽车，火车，甚至飞机，将之前的望山兴叹，望洋兴叹通通变成了坦荡征途。