西游归来的数学38
第38回
鬼山溶洞，玻璃栈道客惊魂
醉仙酒楼，迎来送往车繁忙
上回说到悟空请大家一想：如果N和P都是固定的点，能作出点M吗？如果M和P都是固定的点，能作出点N吗？提出"如果点P和N是已知的点，能作出点M吗？
悟空话音刚落，八戒便抢着回答："这个问题简单，跟那个建水泵站问题差不多．当P、N位置确定时，只需要作P关于OA的对称点P1，连接P1N交OA于点M．则M就是OA这条公路边上转运站的最佳位置．"
"我也明白点N该怎么作了．"沙僧说，"当P、M位置确定时，只需要作P关于OB的对称点P2，连接P2M交OB于点N．则N就是OB这条公路边上转运站的最佳位置．"
"二位师弟说的没错．"悟空说，"现在大家都明白M、N怎么作出来了吧？请看：
作法：1．作点P关于OA的对称点P1，
2．作点P关于OB的对称点P2；
3．连结P1P2交OA于M，交OB于N．则点M、N为所求作（如图1）．"
悟空的解答赢得了阵阵的掌声．
"阿弥陀佛．"唐僧说，"悟空的思路事实上是"以退求进"，把问题退到不失一般本性的简单情形，通过简单情形的解决寻找问题解决的灵感和思路．正所谓'退一步海阔天空'啊！"
"吴主任，转运站的位置俺老孙已经帮你确定出来了，你为何还忧心忡忡？"
"点M、N虽然已经作出，但PM MN NP是否最小呢？"吴主任担心如此确定出来的M、N是否为最佳位置？
"这个你不用担心，我可以证明给你看的……"
"猴哥，你要怎么证明呢？"未等悟空说完八戒急着问道．
"要证明M、N是最佳位置，我们只需要在OA、OB上另外再各取不同于M、N的一点M1、N1，然后证明PM MN NP< PM1 M1N1 N1P就可以了．你看：
证明：在OA、OB上各另取一点M1和N1，连结PM1，M1N1，N1P（如图2）．
由轴对称性可知：
PM=P1M，NP=NP2，PM1= P1M1，N1P=N1 P2，
所以PM MN NP=P1M MN NP2=P1P2，
因为PM1 M1N1 N1P=
M1 M1N1 N1P N1P2> P1P2（两点之间，线段最短）即P1P2<M1 M1N1 N1P N1 P2，
所以，PM MN NP＜PM1 M1N1 N1P，
这就表明：PM MN NP最小．"
"这下我们就放心了．不过……"吴主任欲言又止．
"还有什么事你尽管说．"
"你刚才所做的是按运送方案二证明了M、N是转运站最佳位置，"吴主任说，"但是方案二与方案一相比，那个方案更好呢？"
"这个差点给忘了．"悟空说，"我们回到图1中去，按方案一运送，车辆往返一趟行驶的路程是：
PC CP PD DP=PP1 PP2>P1P2，
可见，方案二比方案一好．"
"明白了，谢谢大圣！谢谢大家！"吴主任及各位村干部对唐僧师徒连连道谢，拟定晚上在醉仙楼备办酒席，盛情邀请师徒四人前去赴宴．
解决了转运站选址问题后，唐僧见天色还早，决定到无底洞旅游区去走走．
无底洞村除了著名的无底洞外，还有许许多多形状各异的溶洞分布全村，其中位于鬼门山上有一个洞口朝上的露天溶洞，号称鬼门洞．鬼门洞的洞口是一个等腰直角三角形ABC，AB=AC，∠BAC=90°（如图3）．洞内深不见底，洞内三面悬崖峭壁，各种稀有植物在峭壁上扎根生长，奇花异草绚丽多彩，芬芳四溢．洞口周围用坚固的三角形铁栏杆围着，沿△ABC的角平分线BD是一条随风飘荡的悬空铁索桥，山风吹来发出"呼呼"声响，怪异的响声令人毛骨悚然．游客们从山底下乘坐缆车到达点B处入口参观，此时有三条参观路线，第一是沿着直角边B→A→D，到点D后乘坐电梯下山；第二是沿着斜边B→C，到达点C乘坐电梯下山；第三是脚踏索桥沿着B→D摇晃到点D再下山．大多数游客选择的路线是第一、二这两条修建在悬崖峭壁上的悬空玻璃栈道，只有少数胆大的选择第三条随风飘荡的索道．有趣的是，选择行走第三条惊险刺激索道参观的游客不需要门票，选择沿三角形边沿的玻璃栈道行走的需要购买门票，其中选择第一条路线B→A→D的比第二条路线B→C的门票要多10元．
师徒四人到达点B时，孙悟空毫不犹疑地选择了走索道，省下了10元钱．唐僧、八戒和沙僧在选择第一、二条路线时产生了分歧．八戒说："虽然走B→A→D这条路线多了10块钱，但参观线路较长，可以欣赏到更多的风景，我看是值得的．"
"要是两条路线一样长，或者B→C这条还要长些，那岂不是亏了？"沙僧反对说．
"悟空，你帮我们算算看，哪条线路比较长？"唐僧发话．
"师父，两条线路一样长．"悟空说．
"猴哥，你是说BA AD=BC吗"八戒问．
"是的．"
"这怎么可能呢．"八戒疑惑地说，"不是说'三角形两边之和大于第三边'吗？"
"二师兄，你说的那是指同一个三角形的三边．"沙僧说，"这里的BA、AD和BC根本就不是同个三角形的三边．"
"我证明给你看就是了．"悟空说，"作DE⊥BC于E，
则∠BED=∠A=90°，
因为BD平分∠ABC，
所以∠ABD=∠EBD，
因为BD=BD，所以△ABD≌△EBD，
所以AB=BE，AD=DE．
因为∠DEC=90°，∠C=45°，
所以，∠EDC=45°，
所以∠EDC=∠C，CE=DE=AD，
所以AB AD=BE CE=BC．
是不是两条线路一样长？"
"原来如此．"八戒终于明白．
参观完鬼门洞到达山下时天色已晚，早在醉仙楼等候的吴主任打来电话，让他们快点过去，晚餐即将开始．
小轿车驶进了通往醉仙楼的街道上，路两边商铺林立，来自外地的游客熙熙攘攘，车子慢悠悠地爬行着．
到达醉仙楼前，吴主任一行已在大厅门前等候多时，他指着身边一位绅士般的中年人介绍说："这是醉仙楼王老板．"
"听吴主任说几位高僧晚上到小楼用餐，王某倍感荣幸．"王老板跟大家一一握手，寒暄一阵子后王老板领着大家到醉仙楼最高层，在这可以鸟瞰镇区全貌，欣赏无底洞风景区的美妙夜景．
醉仙楼是无底洞方圆数十里最有名的一家酒楼，集入住、餐饮和观光于一体，它位于如图4两条公路a、b交汇地方的点A处，来自四面八方到无底洞风景区参观的游客都来入住．
"猴哥，王老板对咱们这么热情，该不会有什么事求咱们吧？"
"也许吧．"
"几位高僧，王某有一事相求，还请不吝赐教．"悟空话音刚落王老板就开口了．
"王老板不用客气，你有什么事就直说吧．"悟空满口答应．
原来，酒楼的王老板为了方便游客出酒店到各风景区游玩，他特意购买了一辆旅游车，每天从酒楼出发运送游客到公路a上的点B，上下一部分游客后，再把车上的游客送运到公路b上的点C，上下一部分游客后又沿原路把车上的游客送到点B，再上下一部分游客返回到酒楼A……如此往复数十回．细心的老板发现，光这样来来往往的燃油费用每天都要上千元，为了节省油费，他想：按照这样运送游客的线路是否存在一条最短的路线？如果存在，不仅可以节省油钱，还可以减少汽车尾气的污染，是件两全其美的好事．但王老板苦思冥想了好几天也没找到问题的答案．
"你的意思我明白了．"悟空听完王老板的话说，"你的问题转化为数学问题就是：如图4，已知直线a、b和点A．要分别在直线a、b上求作一点B、C，使得AB BC最短．"
"是、是，就是这个意思．"王老板频频点头．
"这个问题难啊．"八戒说．
"我知道这个问题为难大家了．"王老板说，"咱们还是先下去吃饭，边吃边聊吧．"
大家随王老板到五楼餐厅，王老板指着满桌子的珍馐佳肴说，"这是王某的一点心意，大家不用客气．"
"师父，您给指点一下吧．"三兄弟边吃边想这个问题如何求解，但始终也想不出什么办法来．
"为师还是那句话，'退一步海阔天空'．"
"我怎么没想到呢？"八戒说，"假设点C在b上的位置已经确定，那么问题就变成了这样一个简单的问题：如图5，已知点A、C和直线a，在直线a上求作一点B ，使得AB BC最短．"
"这个问题我也可以解．"沙僧说，"根据以上的经验容易想到这样做：作点A关于直线a的对称点A/，连结A/C交a于点B，则点B就是满足AB BC最短这个条件的点．"
"行啊，沙师弟．"悟空说，"在图5中，由于A和A/关于a轴对称，所以AB=A/B，所以AB BC=A/B BC=A/C．此时注意到：在图5中，要使AB BC最小，只需要A/C最小，因此，只需要再考虑点C的位置应在哪里就可以了．
由于点A是定点，a是定直线，所以点A/是定点，而点C是定直线b上的动点，根据'垂线段最短'可知：当A/C⊥b时，A/C最小．因此，可得点B、C的求作方法如下：
1．作点A关于a的对称点A/；
2．过点A/作b的垂线交a于点B，垂足为C．
则点B、C就是所求作的点（如图6）．"
"悟能，根据悟空的作法，你来证明一下："师父对八戒说，"如果点D是直线a上不同于点B的一点，DE⊥b于E，那么AD DE>AB BC．"
"好的师父．"八戒一口答应．
欲知八戒如何证明？请看下回分解．
