乌克兰数学家维亚佐夫斯卡获得2022年菲尔兹奖，获奖理由是“证明E8给出8维全等球体最密堆积，以及对相关极值问题和傅里叶分析中插值问题的进一步贡献。”她的获奖工作可谓是“菲尔兹奖少有的接地气的成果”——从研究问题本身来说，她所研究的是8维装球堆积密度最大的问题，我们很容易理解三维空间中的装球问题；而获奖理由中所叙述的“格”也并不复杂。本文将用基本的数学知识介绍相关概念，特别是E8格的特殊意义，它又如何与装球问题联系起来。相关研究源远流长，而现在则是一次直接了解现代数学前沿的绝好机会。
撰文 | 倪忆（加州理工学院数学系教授）
2022年7月5日，乌克兰数学家马林娜·维亚佐夫斯卡（Maryna Viazovska）获得菲尔兹奖。她获奖的主要工作是解决了8维空间中的装球问题：当8维空间中的球按照E8格的方式堆积起来时，装球密度最大。她还与人合作解决了24维空间中的装球问题，这时最大密度是以利奇格的堆积方式取得。
维亚佐夫斯卡（图源：EPFL）
这一获奖工作可谓是菲尔兹奖里少有的接地气的成果，普通人都能理解她到底证明了什么。从数学上说，她的获奖工作再次向世人展示了E8格（以及利奇格）的重要性。那么，什么是E8格？它又如何同装球问题联系起来的呢？
什么是格？
格（lattice），是大数学家高斯（Carl Friedrich Gauss，1777-1855）所定义的一个数学概念。我们拿二维格作为例子来说明格的定义。取一个平行四边形，将它平行移动，可以得到无数个同样形状和大小的平行四边形，使得它们铺满平面。这些平行四边形的顶点构成的集合就叫作一个二维格。
平行四边形的顶点构成一个二维格
最常见的二维格由平面上所有整点组成，也就是说，这些点在直角坐标系里的横纵坐标都是整数。相应于这一格的平行四边形就是边长为1的正方形。我们管这个格叫作正方形格。
正方形格
六边形格
类似于平面格，在三维空间，我们可以用平行六面体平移堆满空间，平行六面体的顶点的集合就是一个三维格。
当这个平行六面体是正方体时，对应的格叫作简单立方格。在简单立方格的基础上，再添加每个立方体各个面的中心，得到的格叫作面心立方格。
在许多晶体中，原子或者分子就是按照格的方式来排列，所以化学家们经常要跟格打交道。例如 α相的固态钋的晶体结构是简单立方结构，而常见的氯化钠（食盐）晶体里的氯原子是按照面心立方格方式排列。
固态钋的α相结构（图源：维基百科）
氯化钠晶体结构，其中绿色大球表示氯原子（图源：维基百科）
不过，晶体学中所说的lattice跟我们这里的格不完全一样，例如晶体学中常见的密排六方晶格就不是我们所说的格。我们所说的格，在晶体学中被称为Bravais lattice。
高维空间中的格可以类似地定义。不过，为了叙述的简洁，我们采用线性代数的语言。
现在给定一组基，如果我们限定上式中的系数ki都是整数，那么这样得到的所有向量的集合就叫作一个格。格中的向量（也可看作空间中的点）则称为格点。
独一无二的E8格
我们要谈到的E8格是一个非常特殊的8维格。为了说明它为什么特殊，我们需要一些进一步的关于格的概念。
在线性代数里，两个向量
如果一个格中任何两个向量的内积都是整数，那么这个格就被称为整格。在这个定义里，当两个向量是同一个向量时，它们的内积就是向量长度的平方。所以整格中任何一个向量长度的平方都是整数。换句话说，整格中任两个格点之间距离的平方都是整数。
在平面上，整格也可以用相关的平行四边形的几何来定义：如果平行四边形每条边长度的平方都是整数，并且两条对角线长度的平方差是4的整数倍，那么这个格就叫作整格。
读者可以验证前面提到的正方形格和六边形格都是整格。
在一个整格中，如果每个向量的长度的平方都是偶数，那么这个格叫作偶格。在二维格里，前述条件等价于要求平行四边形每条边长度的平方都是偶数。正方形格边长的平方是1，所以正方形格不是偶格。六边形格边长的平方是2，所以六边形格是偶格。
在格定义中，作为基的这组向量
如果这个方阵的行列式是±1，这个格就叫作一个幺模格。
在二维的时候，上面这个方阵的行列式的绝对值就是相应平行四边形的面积；在三维时，行列式的绝对值是相应平行六面体的体积。
正方形格对应的正方形面积是1，所以正方形格是幺模格。六边形格对应的菱形的面积是3，所以六边形格不是幺模格。
总结一下，正方形格是幺模格，但不是偶格；六边形格是偶格，但不是幺模格。那么，平面上有没有一个整格，既是偶格又是幺模格呢？
可以证明，幺模偶格的维数一定是8的倍数。所以只是在8、16、24、32…这些维数才有幺模偶格。事实上，在8维时，E8在同构意义下是唯一的幺模偶格。
另外一个著名的幺模偶格是24维的利奇格（Leech Lattice）。康威（John Horton Conway，1937-2020）曾经在研究利奇格的对称群时发现了3个散在单群。
E8格是数学里非常重要的一个对象，它频繁出现在群论、李代数、拓扑、模形式、弦理论等数学和物理领域中，编码理论中的汉明码（Hamming code）也跟E8格有关。
1962年，米尔诺（John Milnor）因为发现七维球面上的“怪异”微分结构而获得菲尔兹奖。利用E8可以构造出七维球面上的全部28个不同的微分结构。
1983年，弗里德曼（Michael Freedman）因证明四维庞加莱猜想而获得菲尔兹奖。弗里德曼实际上完成了单连通四维闭流形的拓扑分类。他的结果的一个推论就是，存在没有微分结构的四维流形。这个流形的构造就利用了E8。
不过，尽管好几位菲尔兹奖得主的获奖工作都与E8有关，今年E8还是第一次直接出现在菲尔兹奖获奖工作中。这次E8大显身手的舞台是装球问题。
开普勒猜想
装球问题（sphere packing problem）是一个来源于日常生活的问题：把同样大小的球堆积起来，怎么样才能使得密度最大？一种自然的堆积方式是，先把球铺排一层，使得每个球周围恰好有六个球与之相切。然后在适当的空隙上方再放置一层球，在适当的空隙下方也可以放置一层球。依此类推，铺至整个空间。容易算出，这种方法得到的堆积密度是
著名天文学家开普勒（Johannes Kepler，1571-1630）在1611年的一篇文章中猜测，这样堆积的密度是最大的。这就是开普勒猜想。
装球问题起源于对堆积加农炮弹的研究，图中所示的堆积方式便达到了最大密度（图源：维基百科）
动手试一下，就会发现，实现这一密度的堆积方法有很多种。在下图里，圆圈表示放好的一层球。接下来的一层球如何放有两种选择：既可以放到红点所在空隙的上方，也可以放到蓝点所在空隙的上方。同样地，放好这一层后，再接下来一层又有两种选择。以此类推，可以看出，能取得最大密度的堆积方式有无穷多种。
可以说，每一个卖橘子的商贩都知道这种堆积能取得最大密度，但这一事实的证明却花了人类四百多年时间。
红色小球周围均匀放置了12个蓝色小球与之相切（图源：维基百科）
有同学会问了：“都是跟12个小球相切，为什么分布越均匀局部密度越大？”可以这么想：假设有四条彪形大汉，从东南西北四个方向围着你，是不是压迫感十足？现在如果这四条大汉跟你的距离不变，但改成半包围形势，留出一个方向让你跑路，是不是压迫感没那么强了？这就是为什么分布越均匀，局部密度就越大。当然，局部密度在数学上有严格定义，我们就不在这里给出了。
匈牙利数学家拉斯洛‧费耶斯‧托特（László Fejes Tóth，1915-2005）在1953年提出了一个方法，只需要进行有限多次计算就能够验证开普勒猜想。但这个计算量非常大，以当时计算机的能力根本无法完成。1998年，美国数学家黑尔斯（Thomas Hales）使用费耶斯‧托特的方法，在计算机辅助下给出了开普勒猜想的一个证明。他将开普勒猜想划分为大约十万个线性规划问题，每个问题有200个左右的变量，1000个左右的限制条件，可以用计算机解答。他的论文有270页，此外还有3 GB的数据，以及超过四万行计算机程序。很显然，这样的证明不是人类所能够检验的。
黑尔斯将他的论文投到了《数学年刊》，拉斯洛‧费耶斯‧托特的儿子加博尔‧费耶斯‧托特（Gábor Fejes Tóth）率领的一个12人团队负责审核论文。经过四年的艰苦工作，加博尔‧费耶斯‧托特的团队报告说他们有99%的把握认为证明是对的，但他们无法确认所有计算的正确性。最终，《数学年刊》发表了黑尔斯原始论文的数学理论部分，有120页。其余偏重计算的部分则分成若干篇论文发表在《离散计算几何》杂志上。这种做法对于《数学年刊》这样的顶级杂志来说是相当不寻常的。
尽管黑尔斯的论文已经发表在权威杂志上，数学界仍然有很多人对其证明抱持着怀疑态度。于是黑尔斯又花了十几年时间，率领团队在2014年给出了一个“形式化证明”（formal proof）。也就是说，这个证明可以由计算机读取，并用现成的证明辅助软件来自动检验每一步逻辑推理是否正确。介绍这一形式化证明的论文于2017年发表在《数学论坛 Pi》上，算是终结了对开普勒猜想证明正确性的质疑。
虽说开普勒猜想已经得到了证明，但这个证明并不是大部分数学家想要的。黑尔斯的证明需要用计算机作海量的计算，检验证明也需要用计算机。雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi，1804-1851）曾说过：“科学的唯一目的是为了人类心智的荣耀。”如果人类的心智永远不能理解这个证明，又谈何荣耀呢？
8维和24维的突破
开普勒猜想研究的是三维空间里的装球问题。在任意维数的空间中，也可以提出类似的装球问题，即同样大小的球堆积起来何时密度最大。这里一个“球”就是空间中到一个固定点（即“球心”）的距离不超过一个固定长度（即“半径”）的点的集合。例如直线上的一维“球”就是一条线段，平面上的二维“球”就是一个圆盘。
一维的装球问题是平凡的：最大密度是1，我们只需要把线段一个个接起来就能填满直线。
二维的装球问题比较初等，很容易想到，当圆盘的中心组成一个六边形格时，密度最大。这一事实的第一个证明是挪威数学家图厄（Axel Thue，1863-1922）在1890年给出的。
平面上的最密堆积
在2016年之前，1、2、3这三个维数是装球问题得到完全解决的仅有的三个维数。
在二维和三维，密度最大的堆积很容易猜出来，尽管证明并不容易。到了高维空间中，密度最大的堆积通常很难猜出来。但是，8维和24维这两个维数比较特殊。在这两个维数存在着E8格和利奇格这两个高度对称的格，人们很自然地会猜测，当球心组成E8格或者利奇格时，堆积密度最大。
拉马努金（Srinivasa Ramanujan，1887-1920）是一位自学成才的印度数学家。他凭直觉写下了大量复杂而优美的数学公式，却无法解释它们的来历，而将其归结于神启。
维亚佐夫斯卡不是拉马努金，更没有得到神启。她花了两年时间，利用数论里的模形式，为E8构造出了正确的辅助函数。她的论证没有用到非常抽象的现代数学知识，而是展示出了高超的数学技巧。毫不夸张地说，十九世纪的那些数学大师们就可以理解并欣赏她的工作。
她的构造，建立在两位跟拉马努金同等级别，但远没有那么出名的数学天才的工作基础之上，并加上了她自己的独特贡献。
这里所说的第一位天才是德国数学家艾森斯坦（Gotthold Eisenstein，1823-1852），他是高斯最钟爱的弟子。高斯曾经在一封给亚历山大·冯·洪堡（Alexander von Humboldt，1769-1859）的信中称赞艾森斯坦是一个世纪中只出现几位的天才。据高斯另外一位学生莫里兹·康托尔（Moritz Cantor，1829-1920）的记载，高斯甚至说过：“只有三位超越时代的数学家，那就是阿基米德、牛顿、和艾森斯坦。”这些言论或许不无夸大之处，但艾森斯坦在他的短暂一生中无疑取得了令人瞩目的成就，这一点很像拉马努金。
艾森斯坦最重要的工作是提出了艾森斯坦级数。这是一种形如
的函数。艾森斯坦级数是数论里模形式的重要例子。
第二位天才同样是一位德国数学家，就是雅可比，前面引用过他的名言。雅可比是历史上计算能力最出色的数学家之一，著名数学史家贝尔（Eric Temple Bell，1883-1960）在《数学精英》一书中把他称为“伟大的算学家”。哈代（Godfrey Harold Hardy，1877-1947）认为，拉马努金对代数公式和无穷级数的直觉，历史上只有欧拉（Leonhard Euler，1707-1783）和雅可比才能与之相比。可见雅可比在这方面的能力是多么的杰出。
雅可比定义了四个雅可比θ函数，并且证明了关于它们的一系列恒等式。最基本的一个θ函数是
维亚佐夫斯卡本人的重要贡献是定义了一个新的积分变换。所谓积分变换，就是从一个函数出发，通过积分得到一个新的函数。著名的积分变换有傅立叶变换和拉普拉斯变换。维亚佐夫斯卡从最初几个艾森斯坦级数E2, E4, E6出发，经过简单的加减乘除，再用上她新定义的积分变换，得到了一个函数a(x)，其傅立叶变换就是它本身。用类似方法，从三个雅可比θ函数出发，能得到一个函数b(x)，其傅立叶变换是它的相反函数-b(x)。最终的辅助函数则是a(x)和b(x)适当的线性组合。
维亚佐夫斯卡解决8维装球问题的论文于2016年3月在网上发表，只有24页。在她把论文放上网的当天晚上，科恩就给她发信祝贺，并问能否把这一方法推广到维空间。他们两人与另外三位数学家合作，在7天后发布了一篇12页的论文，证明了利奇格的堆积在24维空间中是密度最大的。这一团队后来又写了一篇100页的论文，证明E8格和利奇格具有“泛最优性”。也就是说，如果把无穷多个互斥的粒子放到8维或24维空间中，使得它们之间的斥力满足一定条件，那么E8格或利奇格就是能量最低的摆放方式。
迄今为止，装球问题只在1、2、3、8、24这五个维数得到解决，而泛最优性只在1、8、24这三个维数得到解决。为什么8维比4、5、6、7维更容易？即便这一领域的专家们也难以给出一个满意的回答。这其中或许有着非常深刻的原因。
有人会问：“我们生活的空间就是三维的。研究二维和三维的装球问题还可以说有现实意义，研究高维的干什么？”事实上，人们研究装球问题并不完全出于数学上的兴趣。三维空间的装球问题跟材料科学密切相关，高维的装球问题则在通信和编码理论中起到重要的作用。
从数学上说，装球问题不是一个孤立的问题，它跟数论、调和分析、线性规划等许多数学分支都有联系。在研究这一问题中发展出来的方法，可以被运用到别的数学领域。从这一意义来说，装球问题就像一只下金蛋的鹅。维亚佐夫斯卡所发展的方法，正是这只鹅下的诸多金蛋之一。菲尔兹奖的表彰，一定程度上是对金蛋成色的肯定吧。
出品：科普中国
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