一招解决高考立体几何外接球问题,关键是找出球心「附例题」

一招解决高考立体几何外接球问题,关键是找出球心「附例题」

首页冒险解谜球球六边形3D更新时间:2024-05-11

高考立体几何的小题里,外接球的问题被很多学生认为是一个难点。今天这节课我们就来把这类问题一次性研究清楚。你会发现,原来“难点”并不难,很可能只是自己在关键点的把握上始终似是而非,才一直为难下去。

题目说“一招解决”,不夸张,真的就是一招,这招就是高中课本中的那个定理:

球的任一截面圆心和球心的连线垂直于该截面。反之,球心在球的任一截面上的射影是该截面的圆心。

这个有点类似于初中学的平面几何“垂径定理”的定理,可以衍生出很多的结论。这些结论不需要记住,而是要理解。

对于小圆(球的不过球心的截面)和它的任意一个内接三角形,内接三角形的外心即小圆的圆心。

所以我们知道,球心必然在过内接三角形外心、垂直于内接三角形所在平面的直线上。也就知道,对于一个球内接几何体,它的各个面过外心的垂线必然交于一点,这点就是球心。

例1. 已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC 是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC = 2,则此棱锥的体积为 ___ .

分析:SC为球O的直径,O是SC的中点,由点O在过△ABC外心且垂直于底面ABC的直线上,知点S到底面ABC的距离等于点O到底面ABC的距离的2倍,且后者很容易就求到。


具体解决数学问题时,有如下方法:

一是球心在一个面过外心(这里不限于指三角形外心了,而是拓展为到平面内各顶点距离相等的点)的垂线上。作出这条垂线,在其上设出球心,根据球心到各顶点距离相等,列方程求解。例如我们常见的棱锥外接球问题。

例2. 高为2^(1/2)/4的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形,点S、A、B、C、 D均在半径为1的同一个球面上,则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为 ___ .

如果是直棱柱,其实问题一样,只不过是变成了球心在上下两平行底面的过外心的共同垂线上。(圆柱的情况下,外心就成底面圆心了。)

例3. 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为9/8,底面周长为3,则这个球的体积为 ___ .

特别地,当直棱柱的上下底面是正方形,问题就变成了我们熟悉的长方体外接球问题。此时体对角线为外接球直径,d=2R=(a b c)^(1/2)。

当一个三棱锥的某顶点处三条棱两两垂直(“墙角”型)时,也可以“补形”成长方体来处理。甚至更广泛的条件下,也可以构造长方体来处理。

例4. 已知点A、B、C、D在同一个球面上,AB垂直于平面BCD,BC垂直于DC,若AB=6,AC=2·(13)^(1/2),AD=8,则B、C两点间的球面距离是 ___ .

分析:可以构造一个以A、B、C、D为顶点,AD为体对角线的长方体。


二是球心直接由两个面过外心的垂线的交点得出。

还是上面给出的例4.

分析:球心是过直角三角形ABC外心(即AC中点)和直角三角形BCD外心(即BD中点)的垂线的交点。


还是第一节课说的那个道理:“万变不离其宗”。接住高考数学里的外接球问题,看起来很多招,“直接法”、“构造法”……其实本是一招。

查看全文
大家还看了
也许喜欢
更多游戏

Copyright © 2024 妖气游戏网 www.17u1u.com All Rights Reserved