也算是陪娃学习，因为前几天小孩跟我说：自行车轮子是方的也可以骑，只要地面是圆弧形的。我脑补了一下，大概是这么个意思(网找图,感谢原作者)：
当然，我是不相信一个可以让正四边形平稳移动的路面曲线是圆弧的。所以就研究了一下这个问题。即：一辆以正方形作为车轮的车辆应当行驶在何种道路曲线上，才能实现平稳行驶？(后期可扩展至：对于正多边形，给出边数n和外接圆半径R，求对应的道路曲线。)
这里"平稳行驶"是指:
[1] 车轮和道路之间没有相对滑动,两者之间为纯滚动。
[2] 多边形外接圆的圆心在车辆行驶过程中与地面的距离保持不变。
[3] 多边形的前一边完成接触的同时另一边即开始接触,中间无空挡。
为方便叙述，绘制示意图，如下：
其中：
点O是正方形两相邻边的交点,正方形的外接圆过此点，因此OP=R为外接圆直径。
点P是正方形的中心，也就是它的外接圆的圆心的位置。
线段PF是过P点与X轴平行的一条直线。
线段OF是正方形的一条边。
则在OF与道路曲线接触的过程中,P点在PF上平移,即时刻保持 PO=r 的值。
正方形的一边完成一个完整接触,正多边形转过 2α 角度。
那么,对应着上面"平稳行驶"的三条，就有：
[1]道路曲线的弧长积分(第一类曲线积分)应当等于正方形边从起始点到目前接触点的距离。
[2]目前接触点Y方向的距离分为两部分,以下至X轴的距离为道路曲线的函数值A，以上至PF线的距离为B，显然A B=r，这个等式在任何时候都成立。
[3]道路曲线在起点的斜率和终点的斜率与正方形的边OF在这些点处的斜率一致。
根据上述条件，对于正方形(n=4,PO=r)，可建立微分方程并可解得以下参数方程：
其中,角为参数,它表示正方形转过的角度。范围是：
由正多边形的几何关系易知，对正方形，n=4，有：
更进一步的，可将参数方程改写为普通方程，得到：
或者改写成双曲函数的形式：
双曲函数的表达式揭示了现象：让正方形轮子平稳行驶的道路曲线是----悬链线。[奸笑]
自变量x的范围是从0到x1,其中：
以上就是对让正方形车轮平稳行驶的道路曲线的分析。
------
更一般地，对于外接圆半径为r的正n边形车轮，对应的道路曲线方程是：
其中,自变量x的范围是：，其中：
显然，对于任意正n边形,让其平稳行驶的道路曲线都是 --- 悬链线 。
更准确地说，是：悬链线在X轴以上的部分。这就是为什么自变量x存在取值范围。
------
接下来举一个例子，以外接圆为半径为1的正三角形车轮为例子,对应的道路曲线方程为：
将道路曲线的一拱绘制出来，为：
------
最后讨论一个问题：为什么会传说这种曲线是圆弧？
显然，为了保证平稳的过渡，如果曲线是圆弧，则一定是1/4个圆周，1/4圆周才能保证圆弧起点斜率=1，终点斜率=-1，否则方形车轮无法顺利过渡。若令正方形车轮的边长为L=1，则这1/4圆弧的弧长也是1，那么圆的半径可求得：
则圆弧拱高为：
则在45度，拱的最高的位置，正方形离地高度为：
这个高度与初始位置正方形中心的高度的差值为：
误差百分比为：
这个结果表示：当圆弧长和正方形边长一致时，则在45度拱高最高的位置，正方形的中心比起始位置偏低约 3% 。这可以说是个很精确的近似解。即：1/4圆弧是一个非常好的近似地让正方形车轮平稳行驶的路面曲线，它与悬链线曲线相比，仅带来3%的高度误差。
另外就是，若实际加工曲线，加工圆弧比加工悬链线方便得多。圆弧用普通机床（比如普通车床）就可以加工，而悬链线的加工通常需要数控机床（当然，在有靠模的情况下，也可以用普通机床加工，可制作靠模也不是一件容易的事情）。
