"白雪却嫌春色晚，故穿庭树作飞花."唐朝诗人韩愈的《春雪》抒写了对雪花的赞美。皑皑白雪，片片雪花，当我们看到漂亮的雪花时，综奇于大自然的鬼斧神工。干百年来，雪和长好花不因时间改变六角对称的形式，而人类的智慧却不断加深对雪花的认识。
雪花可以入画入诗，能否用数学作为工具揭示雪花的奥秘？怎样形成？是什么形状？
瑞典数学家海里格·冯·科赫（1870-1924）于1904年在一篇题为《关于一条连续而无切线，可由初等几何构作的曲线》的论文中，他给出一条奇怪的曲线，乍看上去就像是一片雪花，这条曲线就是著名的科赫雪花
不过，该曲线不同与寻常意义的建立在数学公式上的曲线，而是基于一个普普通通的等边三角形，通过不断折叠，反复迭代生成的。
他先画一个正三角形，然后在每边再画一个边长为一的小正三角形，接着再按上述方法，重复画出越来越小的正三角形，这样就画出了一个美丽的雪花图形，人们把它叫做"科赫雪花曲线"，它具有无穷大的周长和有限的面积。预示着一门崭新的几何--分形几何即将诞生。
异曲同工之妙，毕达哥拉斯树也是从一个简单的、基本的图形开始，按照一定的规律，生长繁衍成复杂有趣而美丽的图形，我们能探寻图形的边长、周长、面积、个数等规律，与分形几何联系紧密.
解这类问题的基本方法是：
（1）分析图形生长的方式、规律；
（2）分析相关数量的特征，找寻相关数量与图形序号的联系，观察发现，归纳猜想.
几何图形的生长，既可以是对内分割，又可以是向外拓展，经过相同程序的生长而产生的新的几何图形，图形新颖优美，线条自然流畅，也为我们从量的方面探索留下巨大的空间.
自然界的许多图形是如此不规则和支离破碎，如云彩不是球体，山岭不是锥体，海岸线不是圆，这些图形的存在，激励着法国杰出数学家曼德布罗特去研究"无定形"的形态，曼德布罗特是分形几何的创始人，由于他那超越常人的思想和他在科学上的贡献，使他在1985年荣府"巴纳德奖章"
1975年曼德布罗特创造了分形（fractal）一词，出版了一系列奠定分形学说的著作，他是20世纪影响广泛且深远的科学伟人，
曼德布罗特于1982年出版了《大自然的分形几何学》，他的系列发现开创了一门崭新的学科——分形几何学.
1993年获得沃尔夫物理学奖.颁奖词评论说他的研究"改变了我们的世界观"。当代著名物理学家惠勒说："当今哪个学者若不知道嫡的概念，就不能被认为是合格的科学家；在将来若谁不了解分形概念，那他也不能被称为知识分子。"
1．（2020•烟台模拟）如图，是由相同大小的圆点按照一定规律摆放而成，按此规律，则第n个图形中圆点的个数为（ ）
A．n 1 B．n2 n C．4n 1 D．2n﹣1
【解析】：观察图形的变化可知：
第1个图形中圆点的个数为4 1＝5；第2个图形中圆点的个数为4×2 1＝9；
第3个图形中圆点的个数为4×3 1＝13；…
发现规律，则第n个图形中圆点的个数为（4n 1）．故选：C．
2．（2019秋•崇川区校级期末）著名数学家裴波那契发现著名的裴波那契数列1，1，2，3，5，8，13…，这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，如图1，现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造正方形；如图2，再分别依次从左到右取2个，3个，4个，5个正方形拼成长方形并标记①，②，③，④，若按此规律继续作长方形，则序号为⑧的长方形的周长是（ ）
A．466 B．288 C．233 D．178
【分析】观察图形的变化，后一个长方形的宽是前一个长方形的长，后一个长方形的长是前一个长方形的长与宽的和，再求周长即可．
序号为①的长方形的宽为1，长为2;序号为②的长方形的宽为2，长为3;
序号为③的长方形的宽为3，长为5;序号为④的长方形的宽为5，长为8;
序号为⑤的长方形的宽为8，长为13;序号为⑥的长方形的宽为13，长为21;
序号为⑦的长方形的宽为21，长为34;序号为⑧的长方形的宽为34，长为55;
∴序号为⑧的长方形的周长为2（55 34）＝178．故选：D．
3．（2019秋•鼓楼区期末）小红在计算
拿出1张等边三角形纸片按如图所示方式进行操作．
①如图1，把1个等边三角形等分成4个完全相同的等边三角形，完成第1次操作；
②如图2，再把①中最上面的三角形等分成4个完全相同的等边三角形，完成第2次操作；
③如图3，再把②中最上面的三角形等分成4个完全相同的等边三角形，…依次重复上述操作．可得
的值最接近的数是（ ）
4. 1915年波兰数学家谢尔宾斯基制造出了两件绝妙的"艺术品"——衬垫和地毯.如图，把一个正三角形均分成四个小正三角形，挖去其中间一个，然后在剩下的三个小正三角形中分别再挖去各自四等分后中间的一个小正三角形，如此下去可得到谢尔宾斯基衬垫.这些小正三角形的周长越来越大，它们的面积和却趋于0.
问：第二次挖去后，总共有13个小正三角形.那么，这些继续挖下去，第七次总共可得多少个小正三角形？
变式1．谢尔宾斯基地毯是由波兰数学家谢尔宾斯基提出的一种分形图形：将一个正方形分成9等份（如图①），挖去中间的小正方形（如图②）；再将余下的8个小正方形分别9等份，挖去中间的小正方形（如图③）；…这样继续进行下去，就得到空格子越来越多的谢尔宾斯基地毯．若图①大正方形的边长为1，则图④中阴影部分的面积是 ．
【解析】：观察图形的变化可知：图①中，涂黑部分正方形的面积为1，
变式2.如图所示，把一个边长为a的正方形分成9个全等的小正方形，把最中间的一个小正方形涂成白色（图①），再对其他的8个小正方形做同样的分割（即分成9个小正方形，最中间的一个涂成白色（图②），继续同样的方法分割图形（图③）.……得到一些既复杂又漂亮的图形，它的每一部分放大，都和整体一模一样，它是波兰数学家谢尔宾斯基构造的，也被称为"谢尔宾斯基地毯"
求：（1）图③中新的一个最小正方形的边长；
（2）图③中新的一个最小正方形的面积；
（3）图③中所有涂黑部分的面积。
5. 设有一个边长为1的正三角形，记作A1（图①），将每条边三等分，在中间的线段上向外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A2（图②）；再将每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作3A（图③）；再将每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A4，
（1）那么A4的周长是_________
（2）A4这个多边形的面积是原三角形面积的_____倍
（全国初中数学竞赛题）
解析：解题的关键是探索每"生长"一次，边长、边数、面积变化的规律，及每
"生长"一次新增三角形个数的规律。
变式1．从一个等边三角形（如图①）开始，把它的各边分成相等的三段，再在各边中间一段上向外画出一个小等边三角形，形成六角星图形（如图②）；然后在六角星各边上，用同样的方法向外画出更小的等边三角形，形成一个有18个尖角的图形（如图③）；如果在其各边上，再用同样的方法向外画出更小的等边三角形（如图④）．如此继续下去，图形的轮廓就能形成分支越来越多的曲线，这就是瑞典数学家科赫将雪花理想化得到的科赫雪花曲线．
如果设原等边三角形边长为a，不妨把每一次的作图变化过程叫做"生长"，例如，第1次生长后，得图②，每个小等边三角形的边长为a/3，所形成的图形的周长为4a．
请填写下表：（用含a的代数式表示）
6.将棱长为1厘米的正方体按如图方式放置，求第20个几何体的表面积.
（世界数学团体锦标赛试题）
解析：由图呈现的规律知，第20个几何体有20层，从上往下第1层有1个正方体，第2层有3×3个正方体，第3层有5×5个正方体，……，第20层有39×39个正方体，所以第20个几何体的表面积由以下三部分组成：
（1）俯视图：边长为39厘米的正方形，面积为39×39=1521（平方厘米）.
（2）底面积：边长为39厘米的正方形，面积为1521平方厘米。
（3）侧面积：四个形如
的金字塔三角形的面积和，即（1 3 5 … 39）×4=(1 39)/2 ×２０×４1600（平方厘米），故第20个几何体的表面积为1521×2 1600=4642（平方厘米）。
德国数学家克莱因曾对数学美作过生动的描述："音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科技可以改善物质生活，但数学却能提供以上一切。"
英国哲学家、数学家伯特兰·罗素则把数学美上升到了一种前所未有的高度："数学，如果正确地看它，则具有……至高无上的美——正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。一种真实的喜悦的精神，一种精神上的亢奋，一种觉得高于人的意识——这些是至善至美的标准，能够在诗里得到，也能够在数学里得到。"
美国数学家、控制论的创始人维纳则干脆说：数学实质上是艺术的一种。数学美是科学美的核心，主要是指：统一性、对称性、简单性。
