如何推导行星椭圆轨道方程

如何推导行星椭圆轨道方程

首页枪战射击行星轨道更新时间:2024-05-09

16世纪之前,人们认为地球处于中心,而太阳和其他行星围绕着它转。后来,哥白尼提出了“日心说”,把太阳放在中心,地球和其他行星围绕着太阳转。虽然哥白尼的日心说是一项壮举,但该理论中行星是圆轨道,为了与观测数据相符,需要添加一个又一个的本轮。

16世纪末期,开普勒分析了他的老师第谷留下来的观测数据,整理出了著名的开普勒三大定律,其中第一定律又称为椭圆定律:所有行星轨道都是椭圆,太阳处于其焦点。我们想,开普勒是从实践中得出椭圆轨道,那么如何才能从理论上推导出椭圆轨道。

椭圆的数学表达

为了做到这一点,我们需要知道椭圆的数学表达式。在高中,我们都学过直角坐标系下的椭圆标准方程:

如上图,参数a、b、c所代表的含义都已标明,我们主要还有:偏心率e=c/a,半正焦弦l=a(1-e^2)。

事实上,在分析行星运动时,坐标原点取太阳中心比取椭圆中心更为自然。因此,我们将用极坐标系(r, θ)代替直角坐标系(x, y)。我们选取焦点F2为原点,于是有下面的关系:

把它代入上述直角坐标系方程中,得到:

求解这个方程,并剔除掉使r成负数的解,我们就可以得到椭圆在极坐标系下的方程:

为了等下推导行星轨道更容易看出椭圆方程,我们用半正焦弦l代替,并重新排列方程:

行星轨道方程

在这里,我们要写出极坐标下的行星能量方程和角动量方程。

请注意,在极坐标下,速度包含了两部分:平行r方向的速度和垂直r方向的速度。因此,我们可以列出能量方程=动能 势能:

其中,k=GMm。而角动量方程为:

联立两个方程,我们可以得到:

因为行星轨道方程与时间无关,所以我们可以利用链式法则消去dt,如下:

代入上面的式子就得到:

注意,这里还要用到一个常用的技巧:令u=1/r,这会使数学计算更容易一点。这里我们就不给出繁琐的计算过程,直接给出最终的轨道方程:

是不是和极坐标下的椭圆方程形式相同,其中偏心率e:

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