两人轮番取棋子游戏之必胜策略

盒子里有30个棋子，两人轮番去取，每人只能拿1-3个（对方可以看到他拿到几个），谁取到最后一个棋子即获胜。

那么，为了确保获胜，应该先取还是后取？每次取多少？

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逆向倒推

从最后几个棋子倒推，看看剩余几个可以确保自己获胜；并逐步倒推，进行演算。

由于每次取1-3个，如果我要确保获胜，那么看看如果对方先拿，当盒子里剩余几个才行？

剩余1个，对方直接拿走，我败；

剩余2个，对方直接拿走，我败；

剩余3个，对方直接拿走，我败；

剩余4个，对方拿1个，我拿走3个，我胜；

剩余4个，对方拿2个，我拿走2个，我胜；

剩余4个，对方拿3个，我拿走1个，我胜。

可以看出来，只要最后剩余4个，对方先拿，我必胜。所以我遇到的问题就从30个棋子如何获胜，变成了前面26个棋子，我如何取到最后一个，导致剩余4个给对方先拿。

换句话说，同样的问题，只是棋子总数从30个变成了26个。

重复上述思考过程，我们一样可以发现，26个里剩余4个给对方，我们就能获胜。也就是说，26个的问题，又变成22个的问题。

继续逆向倒推，我们就发现30个的问题，依次变成26、22、18、14、10、6、2，这个时候我们碰到的问题是：

盒子里有2个棋子，每次可以取1-3个，取到最后的一个人获胜，你先取还是后取？取几个？

这个自然很容易，当然应该先取，取走剩余的2个即可。

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归纳总结

从上述逆向倒推过程中，找出规律性的东西，总结出普适性的规则。

从上面题目我们看到，只要保证取到第2、6、10、14、18、22、26，就能确保取到最后的第30个。

是不是很容易找出规律？除了第2个，后面都是间隔4个。现在的问题来了：

1.为什么第一次取2个，每次碰到题目，都要逆推倒算出第一次取几个吗？

2.为什么后面是间隔4个？

先来看第2个问题，为什么每次间隔4个？还是看看我们之前的推演：

由于每次取1-3个，如果我要确保获胜，那么看看如果对方先拿，当盒子里剩余几个才行？

剩余1个，对方直接拿走，我败；

剩余2个，对方直接拿走，我败；

剩余3个，对方直接拿走，我败；

剩余4个，对方拿1个，我拿走3个，我胜；

剩余4个，对方拿2个，我拿走2个，我胜；

剩余4个，对方拿3个，我拿走1个，我胜。

我们可以看到，由于最少要取1，最多取3，所以只有在3的基础上加1，这样才能确保对方先取的情况下，无论对方每次取多少，我都能确保取到最后一个。

再来看第2个问题，如何找到第一次要取的2？这个2怎么来的呢，30的基础上，一次又一次的减去4，最终得到2，换句话说，2是30除以4的余数。

现在，我们可以总结出来的规律是：每次取1-3个，只要我第一次取总数除以4的余数，然后每次无论对手取几个，我只需要取4-对手的数，就可以确保获胜。

如果余数为0怎么办？意味着我第一次需要取0，这个规则不允许啊，所以只要把第一次让对方取即可。

一个普适性的规则可以总结出来了

如果有M个棋子，每次可以取1-n个，我们先看M除以（n 1）的余数，如果：

余数不为0，我先取，取走余数个棋子；余数为0，让对方先取。然后每一次都以n 1为一组，对方每取1次，我只需要取（n 1）减去对方取的数量，即可。

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举例运用

把刚才总结出来的规则运用到实战中。

例1：有100个棋子，每人可以取1-5个，拿到最后一个棋子的获胜，如何确保胜利。

解答：

100除以6（5 1）的余数是4，因此应该先取，第一次取4个，以后每次确保取到第10、16、22、28、34、40、46、52、58、64、70、76、82、88、94、100个。

也就是说，先取者获胜，第一次取4个，以后对方取几个，我只需要取6减去对方取的数量，即可。

例2：有100个棋子，每人可以取1-4个，拿到最后一个棋子的获胜，如何确保胜利。

解答：

100除以5（4 1）的余数是0，因此应该后取，每次确保取到5的倍数即可获胜。

也就是说，后取者获胜，每次对方取几个，我只需要取5减去对方取的数量，即可。

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延伸思考

如果题目的规则修改一下，变复杂些，这个题目就更有趣了。

例1：有100个棋子，每人可以取1-5个，拿到最后一个棋子的算输（注意，不是胜利），如何确保胜利？

例2：黑板上写着1-100，这100个数，2人轮流，每次可以用笔划去3个相邻的数字，如果找不到相邻的3个数字就算输，如何确保胜利？

例3：有2个箱子里有棋子，分别是50个、100个，2人轮流取棋子，数量不限，但每次只能取1个箱子里的，拿到最后一个棋子的获胜，如何确保胜利？