本文为“2023年第五届数学文化征文活动
致敬数学史上最强主妇Marjorie Rice
——悠然的单五密铺镶嵌折纸设计历程
作者 : 傅薇
作品编号：029
Abstract: 本文介绍笔者（折友悠然）历时三年有余设计的百年数学难题——单一凸五边形密铺的镶嵌折纸设计过程（15类，每类一纸，还有一题多解）：从画单元图，到折纸布局，到压平，到纠错，及至完成CP图，出模拟聚合图。其中涉及数学的解题技巧和折纸的设计技巧。单五密铺折纸设计是数学/折纸跨学科领域研究不可多得的案例，设计完成的一纸折叠模型也可以改用其他材料应用于艺术、工程、生活等领域。完成过程相当困难，最终能够圆满完成，是对Marjorie Rice的致敬。
一、单一凸五边形密铺介绍
二维平面中，可周期性单密铺的多边形包括：单三、单四、单六（3类）及下表中的单五（15类）（均指单一凸多边形）。
表 1: 单五密铺发现者及年份
二、单一凸五边形（15类）的单元画法
2.1单一凸五边形满足的边角公式
表2: 单五密铺各类单元示例及公式（边角关系公式）
2.2单一凸五边形单元的尺规作图法
想要将单五密铺进行折纸设计，首先需要尺规作图画出它的精确单元图形（一个五边形），然后再画出密铺单元（由几个五边形组成），之后才有可能开始后续的折纸布局等步骤。
下面举几个示例说明一下画图步骤，如果原单元公式提供一定角度自由度，则画图步骤应满足多角度的设定。
图1: TYPE 7单元精确画法
图2: TYPE 8单元精确画法
图3: TYPE 9单元精确画法
图4: TYPE 10单元精确画法
图5: TYPE 11单元精确画法
以上是15类单五密铺中比较难想到的精确单元尺规作图方法，其它单元画法相对简单。第14类较难，在本人2022年的数学征文中有详细介绍。
三、单一凸五边形（15类）的折纸布局
一个密铺画形的折纸设计可能不只一种（比如，type 5就有十多种折纸设计），即不同的折纸（布局）设计可以折出相同的折纸图案。
折纸布局，即将折纸图案拆解成小块单元，让它们分布在一张纸上的某种方式，准则是这种分布方式能保证纸上拆解后的小块单元能够通过折叠，保证原图中相邻的边重合、原图中相交的点重叠。或者我们也可以把折纸设计看成一场图案与CP（折痕图Crease Pattern）之间的翻译。
3.1介绍type 10的折纸布局：
图6: TYPE 10的四种折纸布局
可以看出，上图中包括两种块间关系，一种是矩形直角边重叠，一种是等腰边重叠，这两种布局方式都可以保证对应边通过折叠重合。但要注意的重点是“全局性”，不止是两块之间，需要保证纸面上所有块都满足对应边重叠条件才行。上面四幅图中，（1）图中都是直角关系；（2）图中两黄块间是等腰关系；（3）图中两红块间是等腰关系；（4）两黄块、两红块间都是等腰关系。
3.2平行四边形对称压平纸层关系举例：
除了上述两种边对称（折叠）关系，还可以有“梯形”关系，是等腰关系的变体；还可以有“平行四边形”关系，将平行四边形分解成两边等腰 中间矩形或两个中心对称的梯形。
比如，下面这道题就是平行四边形对称关系，压平纸层的例子：
图7: 平行四边形对称关系压平纸层考题
图8: 平行四边形对称关系压平纸层解答
3.3双动点等腰关系布局方法：
单五密铺中的折纸布局，若要满足前文提到的等腰关系，相当于要同时满足两个动点的等腰要求，如：某一块上的顶点A、B需要满足距离S、T两点定长距离（两定长距离可相等可不等）。A、B两点也可以是某几个已经确定关系的组块中的两个点。下面以type 9单元块进行图示说明：
图9: 折纸布局中的双动点等腰关系确定方法（题目）
针对这个题目，笔者找到两种方法，分别针对线段的首尾。熟悉掌握它们后，对掌握折纸布局大有裨益。可以说，没有这个方法，15类单五密铺的后两排（type 6~type 15）折纸设计很大可能是做不出来的。
图10: 折纸布局中的双动点等腰关系确定方法（方法1）
图11: 折纸布局中的双动点等腰关系确定方法（方法2）
四、折纸设计中的压平、纠错
4.1前川定理和川崎定理
日本著名折纸大师前川淳(Maekawa Jun)提出前川定理(Maekawa’s Theorem)：
可压平的情况下，纸张内部任意一点引出的峰谷线数目之差为±2。
日本著名折纸家川崎敏和(Kawasaki Toshikazu )提出川崎定理(The Kawasaki Theorem):
可压平的情况下同一点引出的峰谷线所形成的角逆时针排序，奇(偶)数角角度和为180°。
这两条定理是折纸压平的必要条件，也是检查CP（Crease Pattern折痕图） 是否正确的依据，对平面镶嵌折纸作品尤其重要。
说它们是必要条件而不是充分条件，是因为即便用软件检测完无错的CP图（软件可以检测CP是否满足这两条定理），全都修改好后，按照CP折纸仍有可能压不平。至于从必要条件到充分条件缺失的条件，大概还在探索之中。
4.2满足前川定理和川崎定理仍遇到的问题
在实际折纸（设计）过程中，尤其是设计单五密铺这种复杂的折纸作品，会遇到各种各样意想不到的问题，折叠（folding）是个值得探索的领域，存在于多种材料中，我们用纸来研究它的折叠原理，但不应该局限于纸。折“纸”，只是因为它触手可得，且简单便宜，但笔者认为折叠原理更重要，遇到问题，解决问题，总结经验。下图以type 11为例：
图12: 折叠错误及纠错1
图13: 折叠错误及纠错2
图14: 折叠错误及纠错3
上面出现的三个错误，都是软件检查无错误（满足两条定理），但实际却不能压平的情况。根据笔者经验，可以考虑改变峰谷线顺序，同一节点周围最好峰谷交替；纸层可上可上的，尽量把纸层向旁压平，一层挡住另一层；软件只显示透光图，而不显示正/反面图的，最好实际折一下，可能存在封闭区域立起的情况，导致不能压平，可以考虑将峰谷互换或选择其他折法。
四、15类单五密铺折纸成果及总结
展示15类中几个复杂的折纸作品如下：（虽然全部设计完成，但篇幅有限，只选出几个特别的）
图15: type 10,11,9,15,8折纸设计作品展示（软件模拟聚合）
图16: 笔者悠然用三年时间设计完全部单五密铺15类折纸作品
人做一件事，总要有他的目的和动机。或者基于兴趣，像Marjorie Rice一样；或者像笔者悠然一样，基于探索折纸/数学领域的边界。无关乎学历，无关于资历，如果我们对既定的世界能以新生儿的视角来观察，再辅以一定的学习和思考，可能就会突破某些限制或规则，让世界因你而不同。共勉！
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