493，动态规划解打家劫舍 III

问题描述

在上次打劫完一条街道之后和一圈房屋后，小偷又发现了一个新的可行窃的地区。这个地区只有一个入口，我们称之为“根”。除了“根”之外，每栋房子有且只有一个“父“房子与之相连。一番侦察之后，聪明的小偷意识到“这个地方的所有房屋的排列类似于一棵二叉树”。如果两个直接相连的房子在同一天晚上被打劫，房屋将自动报警。

计算在不触动警报的情况下，小偷一晚能够盗取的最高金额。

示例 1:

输入:[3,2,3,null,3,null,1] 3 / \ 2 3 \ \ 3 1 输出: 7 解释:小偷一晚能够盗取的最高金额 = 3 3 1 = 7.

示例 2:

输入: [3,4,5,1,3,null,1] 3 / \ 4 5 / \ \ 1 3 1 输出: 9 解释:小偷一晚能够盗取的最高金额=4 5=9.

动态规划解决
前面我们刚讲过《》和《》，今天这题和之前讲的这两道题完全不同，因为前面两题所偷窃的房屋都是数组，而这题是一个二叉树。但这道题也可以使用动态规划来解决。

对于二叉树的每一个节点都有两种状态，一种是偷，一种是不偷。我们定义一个长度为2的数组dp，其中dp[0]表示不偷当前这个节点所能偷窃的最高金额，dp[1]表示偷当前节点所能偷窃的最高金额。

我们就从根节点开始遍历这棵二叉树。
如果偷根节点，那么就不能偷根节点的两个子节点，所以
dp[1]=root.val left.dp[0] right.dp[0];
这里的伪代码left.dp[0]表示的是不能偷当前节点的左子节点

如果不偷根节点，那么我们可以偷子节点也可以不偷子节点，我们取最大值即可，所以
dp[0]=max(left.dp[0],left.dp[1]) max(right.dp[0],right.dp[1]);

那么边界条件是什么呢，就是节点为空的时候，直接返回0即可。

有了递推公式和边界条件，我们来看下最终代码

public int rob(TreeNode root) { int[] robHelp = robHelper(root); //取偷根节点和不偷根节点的最大值 return Math.max(robHelp[1], robHelp[0]); } public int[] robHelper(TreeNode root) { //边界条件 if (root == null) return new int[2]; //这里的left是个长度为2的一维数组，其中left[0]表示不偷root.left节点 //所能偷窃的最大金额，left[1]表示偷root.left节点所能偷窃的最大金额。 int[] left = robHelper(root.left); //right节点同left int[] right = robHelper(root.right); //Math.max(right[0], right[1]), root.val left[0] right[0]表示 //的是不能偷当前节点，所以可以偷两个子节点，也可以不偷子节点，我们取最大的。 //root.val left[1] right[1]表示的是偷当前节点，所以不能偷两个子节点。 return new int[]{Math.max(left[0], left[1]) Math.max(right[0], right[1]), root.val left[0] right[0]}; }

总结
如果对二叉树的遍历方式比较熟悉的话，上面代码一看就知道，他和二叉树的后续遍历非常相似，是完全从下到上的一种遍历方式，每一个节点都记录了两种状态，一种是偷，一种是不偷。每次从下往上走的时候这两种状态都会记录下来……一直到根节点，最后我们只需要返回偷根节点和不偷根节点的最大值即可。