考虑空气阻力,大球和小球谁先落地?

考虑空气阻力,大球和小球谁先落地?

首页休闲益智大球吞噬小球更新时间:2024-09-22

有个著名的故事,伽利略在比萨斜塔上做了一次双球落地实验,双球一大一小(一重一轻),从相同高度落下,结果同时落地,有力反驳了亚里士多德重球先落地的论断。

但实际情况呢?应该是大球先落地

假设起始高度为200米,同样是铁球,一个5斤,一个20斤,考虑风阻(且风速为零)的状态下,谁先落地?

不考虑空气阻力(真空环境):同时落地

考虑空气阻力(无风状态):大铁球比小铁球早0.11738秒先落地

真空环境下

物体下落速度只和重力加速度以及时间相关,和自身质量大小无关。也就是说只要从相同高度落下,不论铁球大小,都是一起触地。

考虑空气阻力

中学都学过自由落体,但日常生活中并不存在严格的自由落体运动,因为或多或少都会有空气阻力的影响。

空气阻力和物体的体型、空气性质、物体速度相关,计算公式如下

【其中c是阻力系数、ρ是空气密度、s是物体迎风截面积、v是物体速度】

【可以看出空气阻力是同速度的二次方成正比,但这并不能适用于任何速度,一般而言空气阻力是同物体速度成正比,至于是几次方就要视情况而定了,低速是一次方(比如雨滴),速度越快,次方越高,比如三次、四次等等】

我们这里取二次方,且设1/2cρs=k,至于铁球的浮力可以忽略不计,可以得出加速度

分离出常数μ=√(mg/k)(如果更精确的话,这里的重力加速度应该也是变量,但这个依旧把它取为9.8的定值),然后积分得到速度和时间的函数

(th为双曲正切函数,下面的ch为双曲余弦函数)

其中μ是物体的收尾速度(也就是最终速度,空气阻力和重力相互抵消),小铁球的收尾速度是每秒81.93米,大铁球的收尾速度是每秒103.21米

之后再积分,得到路程同时间的函数

之后就可以代数值计算了。

我们将200米高度代入,得到:

5斤铁球落地时间为6.70375秒

20斤铁球落地时间为6.58637秒

如果是真空状态,铁球落地时间同为6.38877秒

很明显,大球落地比小球快了0.11738秒

【额,实际上这个零点几秒已经很多了,算下来当大球落地时,小球距离地面的高度还有6米多,人眼已经可以明显看出两球是一先一后着地的了】

那比萨斜塔的实验又是怎么回事?

查了一下,比萨斜塔高54.5,我们就算55米,算下来当大球落地时,小球的高度为52公分,两者落地时间差为0.01669秒。这样的差别肉眼已经很难分辨了。(小球落地3.39531秒,大球落地3.37862秒,真空状态3.3503秒)

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