一图在手,百事不忧
令人敬佩的大罕老师在微信群分享了如下的问题:
许多数学题,解它的关键是画图。一图在手,百事不忧.
【题目】如图,在底面半径为1,高为6的圆柱内放置两个球,使得两个球与圆柱侧面相切,且分别与圆柱的上下底面相切,一个与两球相切的平面斜截圆柱侧面,得到的截线是一个椭圆,则该椭圆的离心率为().
【解】图1是直观图,图2是轴截面图.
设两个球和球心分别为A,B,斜截面与两球相切于点E,F,椭圆与圆柱母线切于点C,D,
如图2,设椭圆的长轴CD=2a,而短轴长是圆柱底面圆的直径2b=2,即b=1.
易知AB=4,
设CD与AB的交点O,则O为AB的中点,过点O作OM⊥HG,M为垂足,
∴BF=1,BO=2,而sin∠ODM =sin∠BOF= 1/2,
∴OD=2OM=2×1=2,即a=2,
在椭圆中,半焦距c=√(a^2-b^2)=√3,
∴离心率e=√3/2.
【小结】既然画图如此重要,那就应该引起我们足够的重视.
平时要加强作图的训练.
书到用时方恨少,事非经过不知难”这是一副劝勉联,陆游所撰.
上联是劝勉人们要“贵学”,下联强调“行”的重要性.
平时训练画图,到时利用画图解题。
反思1:笔者非常赞成上述的观点。
实际上,笔者的文章也多次讲过这个问题:
【学术参考1】画图与分析能力并重 —广州市2019年数学中考压轴题第24题的探索
在这篇文章笔者提出了同样的类似的观点。
反思2:GGB可以绘制出更精美准确的图像:
可参考:
丹德林双球模型证明椭圆的第一定义,漂亮!
geogebra进阶104:经典案例之著名的丹德林双球模型(视频和文字版教程)
丹德林双球模型的两个模型:得到椭圆
GGB课件用于教学当然是好的,但是,是不是投影或者演示之后,就到此为止呢?
不是啊!
例如在考场上解决上面的问题,非得学生“手工绘图”,即学生要自己在草稿上画出“比较准确的图形”,才能求解!
因此,在这部分知识的教学上,教师应该怎么做呢?
哪些必备技能是需要在黑板上展示的呢?
哪些必备技能是学生必须练就的呢?
答案不言自明。
当然,也欢迎您提出自己的观点!
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