用Scratch编程画分形几何图形系列之一谢尔宾斯基三角
笔者曾经在头条上介绍过迷人的分形几何，也零星地写过用Scratch等编程工具画各种图形的短文，现在准备写一个用Scratch编程画分形几何图形的系列。
Scratch图形化编程工具是麻省理工推出的一款易学易用的编程工具，它提供了丰富的图形化编程模块，让用户可以通过拖拽块的方式完成程序的编写。本系列文章将介绍如何在Scratch中使用递归算法、L系统、IFS迭代函数系统等手段绘制出令人惊叹的分形几何图形，无需过高的编程门槛，你也可以通过本系列轻松上手，揣摩体会，循序渐进，让你的程序能够为你绘制出无限精彩的图像。
让我们从一个最著名谢尔宾斯基三角分形开始吧！
谢尔宾斯基出身于波兰，在20世纪之初，他在莱比锡大学担任数学教授长达35年，这期间他发表了许多重要的数学论文和著作，尤其是他的“集合论基础”与“测度论基础”两部著作被广泛认为是20世纪数学的最重要贡献之一。
谢尔宾斯基三角形，就是由这位现代拓扑学的奠基人之一发明的一种分形图形，它是由一个大三角形不断地被切割出三个等边小三角形，然后将中间的等边三角形去掉，留下剩下的三个小三角形，然后再对这三个小三角形，重复执行同样的操作，一直重复进行下去，直到无穷。最后我们得到的图案就是谢尔宾斯基三角形分形图，它是一种自相似的分形，具有美妙而神奇的几何变换性质。
谢尔宾斯基三角生成规则示意图
我们怎么用递归的算法来实现这个生成机制呢？那就是把去掉中间的等边三角形，变成在空白的大三角形的左下、右下和中上位置生成3个长度为原来一半的等边三角形就OK了。
首先我们先定义一个画实心等边三角形的模块（子程序），便于在递归中调用。
用画实心正多边形边数取3来画正三角形，使用了保存位置和回到原来位置的子程序
再来设计递归程序，最初（级数N=0），就是一个等边三角形，后面每一级都是在上一级三角形的左下、右下和中上位置生成3个长度为上一级一半的等边三角形。在递归算法中，我们为了实现递出去，归回来，使用了保存位置和归位两个子积木（子程序），注意体会。
画分形的递归子程序和主程序截图
主程序设置好一些初始值，比如图形颜色、递归的层级、分形的尺寸和初始位置和方向。
谢尔宾斯基三角形的生成机制被称为 “颗粒游戏” ，可以通过计算机来进行图形生成。这个游戏的规则非常简单，就是一直使用上述的过程，每一次将所有中间的等边三角形都删除，留下其他三角形。从下图可见，当你不断地去除更小的等边三角形时，你会发现每个在谢尔宾斯基三角形中的三角形，都是由不同等边三角形不断放大而成。因此，谢尔宾斯基三角形很直观的自相似性，无论是放大到几何尺度的短距离还是长距离，其形态都具有相似的结构。感兴趣的读者，自己动手试试吧。
级数N=6时的谢尔宾斯基三角
谢尔宾斯基三角是一个神奇的分形，我们可以用许多方法（比如混沌游戏IFS迭代系统、元胞自动机等等）生成它以及它的变形。我们在本系列的后面会陆续看到。
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