中考几何进阶 辅助线法则（27）黄金分割 金三角与三角函数计算
本文闲聊一下某些角度的正弦计算，以为趣事。
初中几何中，有一个著名的定理叫黄金分割定理。从哲学意义上讲，这个定理体现了整体和部分的对称美。
【对称】
尽管关于对称大家很熟悉了，但对初中学生而言，依然主要是感性的认知。事实上，对称原理是科学的一个基本原理。
广义的对称是这样定义的：凡 变化过程中保持不变的，名对称，或称为（过程的）对称性。
从黄金分割定理来初步了解一下对称性，并从金三角体会其惊奇的能量。
【黄金分割定理】
如图线段AB内一点G，如果满足
则称G为线段AB的黄金分割点。
令AB＝1，BG＝x，则
解中的
称为黄金分割数，对应的G点为黄金分割点。与其对应的
也可以叫黄金分割数。
另一个解，则是线段AB的外分割点，这里就不多说了。
【顶角36°金三角】
其底边长与腰长之比等于黄金分割数。
如图，顶角36°的等腰△ABC，腰长AB＝AC＝1，底边BC＝x，作底角∠ABC的平分线BD，交AC于D。
由角平分线定理：
由Rt△ABE：
由Rt△ADF：
【顶角108°金三角】
其腰长与底边长度之比是黄金分割数。可由三角形相似加以证明。
由金三角构成金五星
既包含了顶角36°的黄金三角形，也包含了顶角108°的黄金三角形。
【一个神奇的三角恒等式】
这一段，纯粹因为感觉这个恒等式比较奇妙，它把24°、30°、54°、84°的正弦相互联系起来。在玩金三角时，偶然发现，拿出来大家一起欣赏一下。
54°正弦与30°正弦的乘积，等于这两角和的正弦与这两角差的正弦的乘积：
这个恒等式反映了某些线段比之间存在的奇妙关系。基于金三角54°正弦的结果以及两角和差公式，通过计算很容易证明：左端＝(√5 1)/8＝右端。
你发现，理论上，6°的整倍数角，都可以基于金三角的结果加以手动计算，这些角度是：6°（84°）、12°（78°）、18°（72°）、24°（66°）、30°（60°）、36°（54°）、42°（48°）。
进一步，恒等式对应的几何图形也比较有趣，有时间再和各位探讨。
