Scratch学数学之斐波拉契数字阶梯与黄金分割
一、斐波那契和斐波拉契数列
1.斐波那契，又称比萨的列奥纳多，他生于意大利的比萨，却在北非接受教育。现在，我们对他的生平知之甚少，有关斐波那契的少量信息都源于他著作里的一些自传性附录。
斐波那契被视为中世纪最具才华的数学家。我们现在普遍使用的十进制系统都要归功于斐波那契。当他还是一名学数学的学生时，就发现古罗马数系没有零，缺乏位值，不够用，因此决定用从0到9的印度——阿拉伯数符号取而代之。
2.斐波那契还以他所发明的著名数列闻名于世，这一数列现在被称为斐波那契数列（1，1，2，3，5，8，13，21，34，55）。斐波那契数与卢卡斯数存在着紧密的联系，因为斐波那契数是卢卡斯数列的一个重要补充部分。这些数与黄金比例的关系也非常密切。比方说，最接近黄金比例的有理逼近是2/1，3/2，5/3和8/5。这些数还出现在大自然中，比如树木的分支、叶序（一个树干上叶子的分布情况）、洋蓟的开花、伸直的蕨类植物以及松果的排列等。
二、斐波那契的兔子问题——1202年
与数列有关的最著名的消遣数学问题，就是斐波那契在1202年提出的经典问题：在一年之内，一对兔子能够繁殖多少对兔子。假设一对兔子一个月能够繁殖一对新兔子，而新出生的兔子在两个月后又能够繁殖一对新兔子。
这个假设性的兔子繁殖问题可以在一本名为《算术书》（Liber Abaci）的书籍里找到。该书是斐波那契在1202年写的，当时他还只是一个年仅27岁的数学家。在提出这个问题时，斐波那契假定上面提到的一对兔子是由一只雄性兔子与一只雌性兔子组成的，假设它们能在出生两个月后繁殖它们的后代，而事实上，兔子一般在出生四个月后才能达到性成熟。这种单纯的数学游戏及其人造的数列，就是我们今天所熟知的斐波那契数列。这个数列后来在自然界的许多方面都能找到。这真是一个巨大的巧合！你能计算出在一年剩下的时间里，一对兔子将会繁殖出多少只兔子吗？
三、斐波那契数列与黄金比例
在数学里，斐波那契数就如下面所示的数列，是无穷无尽的。下表显示了这个数列的前面13个数字。你能从这些数字中找出规律，并且写出后续的数字吗？
你能够想出斐波那契数列与黄金比例1.618有什么奇妙的联系吗？
四、用Scratch编程来解决这个问题。
先根据生成规则，生成斐波拉契数列。为此需要建立两个列表一个装斐波拉契数，一个装斐波拉契数列的每一项与其相邻的后一项的商，用递归的算法可以实现。
我们发现，当项数达到较大的值时，这个由商组成的数列的项越来越左右摇摆地逼近黄金分割数1.618……
五、卢卡斯数列与卢卡斯数
我们不应混淆卢卡斯数与卢卡斯数列，因为卢卡斯数列是卢卡斯数所属的一类数列。爱德华·阿纳托尔·卢卡斯研究了这种数列以及与之存在密切关系的斐波那契数。
卢卡斯数与斐波那契数在卢卡斯数列中形成了一种互补关系。在数学里，递归关系是一种能够描述数列的方程式。一个或多个初项能够确定数列里的后项。
卢卡斯数列是一个整数数列，符合递归关系。卢卡斯数列的著名例子包括斐波那契数、梅森数、佩尔数、卢卡斯数以及雅各布斯涛尔数 等。
每一个卢卡斯数都是之前两个数字相加的总和，就如斐波那契整数数列一样。因此，两个连续的卢卡斯数之间的比例会收敛至黄金比例的数值。但是，卢卡斯数列的头两个数是2与1，而不是斐波那契数列的0与1。因此，卢卡斯数的属性与斐波那契数存在着很多不同。卢卡斯数的数列是：
事实上，对于任何一个之前连续两个数字之和形成第三个数字的数列，无论我们是从哪两个数字开始的，后项与前项的比例最终都会无限趋近于1.6180339。
将前面关于斐波拉契数列的程序的初值稍作改动，就可得出卢卡斯数列的结果：
六、斐波那契数字阶梯
下图所示的红色数字显示，两个连续数字的商与每个数字之间存在一定的关系。你可以看看这些分数——一个斐波那契数与之前一个数字的商——会随着数列数字的不断增加而发生改变。这一长串的小数会变成怎样惊人的结果呢？
用Scratch编程画一画这个斐波拉契数字阶梯？在生成斐波拉契数列以后就可以取出数列的值做适当处理作为矩形条的高度，处理是为了防止高度超出舞台高度。将舞台宽度480除以矩形数量作为矩形的宽度，在舞台左下角开始画出相应的矩形条。画实心矩形条时要注意结束条件，见截图中的注释框。
《迷人的数学》中的谜题：只用斐波那契数能表达每个自然数吗？比方说，你能够通过利用前面13个数来形成232这个自然数吗？
结论：每一个自然数都可以用不同的非连续性斐波那契数字以不止一种方法表达出来。比方说，232就可以按照下面的方式表达出来：如图所示：
七、总结与拓展
按照定义，前面两个斐波那契数是0与1，接下来每一个数都是之前两个数的总和。我们就参照主流数学书，将0省略掉，从两个1开始。如果我们拿起计算器进行计算，看看这些小数，就会发现这些数彼此之间会变得越来越接近，并且接近某一个让人吃惊的极限。这个真正让人感到惊讶的结果就是黄金比例。谁能想象到，这一看似没有什么特别的线段划分（当初欧几里得纯粹是出于几何的目的进行的划分），以及人造的数列，竟然会对数学与科学产生这么重要的影响！黄金比例在自然的基础建构过程中扮演着重要的角色。
前面我们已经提到过，可以用不同的起始数去形成一个相似的递归数列。比方说，卢卡斯数列就是始于2与1。因此得到的数列就是2，1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，……，除了前三个数之外，卢卡斯数列的数字其实都不是斐波那契数。那么，我们还是要问，斐波那契数列与卢卡斯数列是否存在着什么关系？是否有着一丝可能存在着重复数列呢？是有关系的。如果我们用卢卡斯数列的数或任何递归数列的数去进行上述过程——那么它们都会逐渐接近黄金比例，这是黄金比例、斐波那契数与毕达哥拉斯定理之间存在的惊人巧合。你自己选择两个正整数作为初始项，试一试？
