作者 | 扬帆起航552来源 | 小谜题大世界
在网络上，我们经常看见一种很有规律性的画作，它们一般都是由一种基本图案（有的是两种），通过平移、旋转或镜像，把整个平面铺满，没有缝隙和重叠。这种铺放方法，在数学上叫做密铺（tessellation），或平面镶嵌。其中，很多镶嵌画都是由荷兰著名版画家埃舍尔绘制的。那么，这类镶嵌画，究竟背后有着什么样的数学原理呢？
以《骑士》为例，每个单元由一个骑士和一匹马组成。它的外形可以分成四条曲线，如下图。绿色曲线是由蓝色曲线镜像再平移得到的（数学术语叫作“滑移反射”），同样，紫色曲线是由红色曲线滑移反射得到的。
依次连接四条曲线的交点，可以得到一个筝形，而筝形是可以密铺平面的，如下图。这幅《骑士图》就是在筝形密铺的基础上，把四条直边变成四条曲边得到的。
那么，这种变形需要满足什么条件呢？
因为相邻的两个筝形是滑移反射关系，不难看出，两组邻边可以分别通过滑移反射得到。不失一般性，我们用两种互补块表示，如下图。
变形后的密铺图如下：
事实上，几乎所有的镶嵌画都是在多边形密铺的基础上，对各条边在一定条件下进行巧妙的变形，从而产生惟妙惟肖的各种图案。因此，要创作这种镶嵌画，一个自然的问题是，一共有哪些基本图形的密铺？它们是如何变形的？
在这个系列中，我将尽可能详细地列举已知的基本图形的密铺方式，并分析其变形特点，既是对解决这一有趣的数学问题的一个尝试，同时也为创作类似的镶嵌画提供数学基础。
参考文献：
en.tessellations-nicolas.com/method.php
