聊聊平面几何的学习

很多家长会问我，贼老师，怎么才能让孩子学好平面几何？

老铁都知道我是天赋论的坚定支持者，很多人本身就是学不好平面几何的，换谁教都不行。当教师那么多年，最反感的一句话就是没有教不好的学生，只有不会教的老师。这句话用在教师自省可以，但是用来要求教师就是个笑话。

对每个孩子来说，学好平面几何的标准是不一样的。你自行车骑到时速80千米/小时那是顶级的赛车，法拉利开80千米/小时人家那是还没轰油门。所以家长对自己的孩子要有个充分的了解，明白孩子的天花板在哪里，也许你会发现自己的孩子平面几何还是不错的。

平面几何作为数学的一个分支，想要学好的话也服从数学学习的一般规律，最根本的就是要提高对数学的认识。什么叫对数学的认识呢？比如说等你学了解析几何以后，你如果能够意识到其实平面几何作为数学来说已经死了，没有任何新的东西，这就算是对数学的认识很高了。所有的定理、命题，你都可以通过计算暴力破解，如果再加上三角、复数的工具，理论上平面几何就没有任何研究的必要了。

注意，这是从理论研究的角度来说平面几何已经死了，并不是说平面几何没有难题了，或者说贼老师你就能做出所有的平面几何题目，这是两个概念。事实上还是有一些平面几何的难题我确实做不出来——无论我用什么方法，但是这和对平面几何的认识是两回事，而像其他的活的数学分支，就会有很多的新问题能推动这个分支的发展。

从平面几何证明的方法来看，大致分为纯几何流派和计算派。苏联的教育体系偏重用纯几何的做法，就是各种几何中的变换技巧，加一堆辅助线；而欧美的喜欢算算算，用很少的辅助线来解决问题。当前我国初中阶段平面几何教学走的还是苏联体系，对于用解析法或者三角法的运用几乎是不涉及的。只有高中专门走数学竞赛路线的学生才有机会接触到这些通过计算来证明平面几何的方法。

在题目相对比较简单的时候，纯几何法占优；而题目比较难的时候，相对来说计算法会占优。当然界限也不是那么的明显，还是根据个人偏好来决定。

那么既然平面几何已经是个死亡了的分支，为什么我们还要学呢？

首先当然是实用性。平面几何的原意是丈量土地，所以这是标准的应用数学。这是一门非常实用的工具，你说锤子还能做出什么花么？还有有什么革命性的创意么？很难。然而这不妨碍锤子是一种很有用的工具。

其次我们的义务教育阶段是缺乏系统的逻辑课程的，而平面几何的课程是逻辑课最好的替代品。家长自己学平面几何的时候应该是深有体会的，从上一步到下一步必须要逻辑上成立才能过去，不然任何的平面几何的证明题你只要把题目抄一遍就完了：因为这些条件肯定是能推出最后的结论的，而我们要的就是这个过程。通过反复的训练，我们就借助对平面几何的学习完成了基本的逻辑训练。

所以我在写这些教学文章的时候，尽量采用的是我认为最自然的思路写下来的——注意是最自然的思路而不是最简洁的思路。毕竟作为靠这个吃饭的，掌握的技巧肯定比一般学生要多一些，有些定理、方法完全超纲，但是使用起来会非常地简便，像这种我就尽量不写，而是尽量采用初学者的思维方式进行思考。由于每个人的思维模式不一样，因而在写整理思路的时候，每个人对最自然的理解也不一样，这个并不是什么本质性的问题，关键是你要帮助孩子建立起属于自己的一套自然的思路，不要你觉得要他觉得自然才是真自然。

因此我在选择例子的时候遵循一个基本的原则：是否有自然思路。有的平面几何难题需要用到的技巧过强，完全没有逻辑可言，证明的时候全靠想象力的那种一般不收录——因为能做到那种难度题目的孩子已经不需要看这些文章了。而我这些系列中所举的例子，有些确实很难，但是只要你有耐心，基本上不需要靠想象力来解决。也就是说，只要你基本功扎实，完全可以通过题设中的条件一点点把辅助线给抠出来。

也有很多读者给我留言说有更好的解法，讲真我挺感动的，毕竟这么浮躁的年代还有人愿意再去做点数学题是很难得的事情。只是有些解法在我看来也许不够自然，技巧性过强，和我的教学理念有些冲突，所以没有选用那些方法。

其实从我内心来说，我是很希望把解析几何的办法教给学生的，因为那样的话应付中考是绰绰有余。然而这个是属于被封禁的技能，所以也只能采用纯几何法来进行推导。

不是每个人都要去当数学家，既无可能也无必要。过度地炫技其实除了打击孩子的信心和数学学习的兴趣以外没有任何的用处。越是平平无奇的解法也就越能打消孩子对学习平面几何的恐惧。证明的过程长一点其实不可怕，可如果过程非常精彩又很简短，以至于让孩子发出了天，这怎么想得到的惊叹，那么这方法多半不是太好的办法。应该说我列举的关于平面几何的基本训练大部分的孩子是完全可以做好的——从总体而言，人的智力水平的分布是呈现橄榄型的：极聪明和极笨的都是少数，如果把所有人的IQ取个平均值，那么在正负一个标准差范围内就有接近70%的孩子，所以说大部分孩子可以做好平面几何的基本训练，我是有数据做支撑的。

当然具体到细节那就千变万化了。哪有什么书或者教学方法能够适用所有的人，如果真的有，那么因材施教岂不是成了一句空话？所以这既不唯物主义又不符合实际情况。我只是给大家教自己的孩子提供一种思路，同时把一些最关键的地方给大家罗列出来，这样可以很好地掌握孩子到底有没有真的掌握。

平面几何的核心问题，就在于两种关系：数量关系和位置关系。一切的问题都是围绕着这两种关系展开的，所有的辅助线的添加方法也都是由这两种关系所决定。孩子题目刷地再多，如果不明白自己到底在干什么，那么提高的速度会很慢；反之有了这个指导思想，孩子上手会很快。

所以你要下场辅导孩子，一定要站得高一点，这样才能够帮助孩子有实质性得提高。如果你要找老师辅导孩子，那种只会让孩子做题然后一个接一个讲题目的老师，请远离。我的写作目的就是为了提升家长对数学学习的认识水平，方便你们甄别孩子所碰到的数学老师。