本文通过数值仿真分析了无序正方晶格光子晶体中类狄拉克点的光子传输特性.结构中的无序是通过随机移动氧化铝介质柱的位置来实现。研究发现，由于纵模被激发出来，在类狄拉克点及其附近无序对结构透射率的影响是不同的。
在类狄拉克点，由于纵模的干扰，透射率随着无序的增加而减小，与通带的行为类似.在不受纵模干扰的类狄拉克点附近，透射率几乎不受无序的影响。
这主要是由于结构可以等效为近零折射率材料，等效的波长非常大本文的研究结果有助于人们进一步理解光学纵模和零折射率材料。
光子狄拉克点由于其奇特而丰富的物理现象受到了研究者们的青睐。对于三角结构或者蜂窝结构的光子晶体口，其能带在第一布里渊区边界相交于一点。
并且此点附近的色散关系是线性的，此简并的点称为狄拉克点，这是与结构对称性有关的必然的简并。此狄拉克点的赝自旋是1/2,贝利相位(Berry phase)是π或者-π。
狄拉克点附近线性的色散关系导致其特殊的光子传输特性，比如赝扩散(Pseudodiffusive)传输、颤振动(Zitterbe-wegung)回、克莱恩隧穿(Klein tunneling)、边缘态、弱反局域、拓扑传输等等。
光子狄拉克点不仅可以在布里渊区边界实现，也可以在布里渊区中心位置实现.最近，Chan课题组首次在实验上证实对于正方晶格的介质光子晶体，通过调节材料参数和占空比，在第一布里渊区中心也可以出现狄拉克锥形的色散。
此简并的点是偶然的三重简并，是两条线性的能带与一条较平的能带的交点，即除了光子狄拉克锥外，还有一个穿过锥点的色散很平的带。此平带改变了光子狄拉克点处的赝自旋。
导致锥点的贝利相位为零，这一点和布里渊区边界具有180°贝利相位的光子狄拉克点很不一样。因此，在布里渊区中心处的光子狄拉克点又被称为类狄拉克点。
对于类狄拉克点三重简并的能带模式，如果是一个单极模式和两个偶极模式的简并，那么运用等效介质理论就可以发现类狄拉克点的等效介电常数和等效磁导率同时为零(Eeff=eff=0)。
也就是说，在类狄拉克点频率处，结构可以等效成介电常数和磁导率同时为零的零折射率材料。
结构内部的电磁场分布几乎是均匀的，并且结构内没有相位的变化，波长无限长，因而可以调控电磁波的波阵面，实现光束的准直。
当波源的是高斯波时，就会看到穿过结构的电磁波的波振面从高斯波转化成平面波。在结构中放入电导体或者磁导体缺陷还可以实现全透全反、隐身和汇聚等现象。
同时，在类狄拉克点频率处，结构中的场分布有很强的局域性,利用场强的局域性还可以实现全光双稳态和全光开关。
类狄拉克点处较平的能带为纵模，这是由于结构在光子狄拉克点可以等效为零折射率材料，而零折射率材料可以支持光学纵模.等效的零折射率材料支持无色散的纵模，此纵模是不能与外界耦合的聋带("deaf band")。
但是在真实的光子晶体和特异材料中，总存在一些空间上的色散，所以轻微偏离布里渊区的中心，这个平的能带就不是完全无色散的，具有非零平行波矢分量的入射波就会激发出这个平的带。
我们前期的工作已经从仿真和实验上证明纵模的存在不影响类狄拉克点锥的滤波效应，但是由于两者锥点的位置不同，对应的k//=0的场分布形态不同。
那么，在结构中引入无序后，纵模是否会影响具有等效零折射率特性的类狄拉克点的光子传输性质?
本文中，我们通过仿真计算研究了类狄拉克点的光子传输特性。在无序的光子晶体结构中，由于纵模的影响，类狄拉克点及其附近的光子传输特性受无序的影响表现出不同的现象。
数值仿真的结果表明在类狄拉克点处，由于纵模的干扰，结构的透射率随着无序的增加而减小。而在偏离类狄拉克点处，结构的透射率几乎不受无序的影响，这主要因为结构此时不受纵模的影响。
模型的建立
首先，我们通过调节结构参数，用基于平面波展开方法的Rsoft软件计算出正方晶格光子晶体的能带图，在能带图中找到三重简并的类狄拉克点。
选择电场沿介质柱方向极化(TE波),氧化铝介质柱的半径(r)、介电常数(s)和磁导率(μ)分别为3 mm,8.35和1,晶格常数(a)为13.36 mm。
所得的能带结构如图所示，从图中可以看出，在频率为13.24 GHz处三条能带简并在一点，形成类狄拉克点。
图中为三维的能带图，从中可以清楚的看到上下两条能带交于一点形成狄拉克锥，同时有一条较平的带相交于此锥点，也就是类狄拉克点。
图中为第四条能带的等频图，在类狄拉克点以上其等频图几乎是圆形的，表明结构对电磁波的响应是各向同性，此时结构更可能等效为零折射率材料，而在类狄拉克点以下，第二条能带的等频图不像图中那样近似为圆形。
图中为类狄拉克点三重简并的本征态的电场分布，可以看出我们选择的类狄拉克点是一个单级模式和两个偶极模式的简并，这样在类狄拉克点频率处，结构可以等效成介电常数和磁导率同时为零的零折射率材料。
无序的光子晶体
我们通过改变介质柱的位置来引入结构的无序。方法如下：在完美的光子晶体中，介质柱的位置表示为ri,o,在无序的光子晶体中介质柱的位置为ri,△=Ti,o △;(cosθea sinθey)。
其中，θ的大小是从{-π/4,0,π/2,π,3π/2}中随机的选取，产生上下左右四个随机移动的方向，em和ey分别为x和y方向的单位矢量，△;决定每次移动的距离。δ=△;/a是描述无序度的因子。
本文中的△₁的取值依次是0,0.3,0.6,0.9,1.2 mm,δ的值越大无序程度越大.需要说明的是：每一个无序度对应的透射率都是多组不同的无序结构在相同的无序度下所得到的透射率的平均值。
数值仿真的结果及讨论用基于有限时域积分技术(FIT)的CST仿真软件完成的，仿真中边界的设置为PEC和Open边界，入射端和出射端的横截面为45 mm×10 mm.TE波沿T-X方向进入光子晶体。
仿真证明这种环境下端口出来的波源类似于一个具有非零k分量的高斯波，那么这种波源就很容易激发出类狄拉克点的纵模，方便讨论纵模的影响。
图中为CST中端口出射的源，图中为COMSOL仿真所得的高斯波源，可以看出我们CST仿真中端口出射的源类似于一个高斯波源。
不同的线型代表不同的无序度.从图中可以看出随着无序度从0逐渐增加到0.088,结构的透射率发生了明显的变化。
由于结构的有限性，类狄拉克点的位置13.225 GHz(如垂直虚线所示)稍微偏离能带图中的13.24 GHz。
类狄拉克点附近的透射率随着无序度的增加而减小，与通带12.5 GHz附近的行为类似，而13.5 GHz附近的透射率几乎不受无序的影响。
为了更清楚的展示这种现象，通带12.5 GHz,13.5 GHz和类狄拉克点13.225 GHz附近0.05 GHz范围的透射率取平均，给出不同频率处的平均透射率随无序度的变化关系，如图所示。
从图中看到通带和类狄拉克点受无序的影响是一致的，都是随着无序的增加透射率减小，但是类狄拉克点透射率下降的趋势明显缓慢。而13.5 GHz附近的透射率几乎不受无序的影响.为了解释这种现象，我们给出以下可能的物理分析。
零kj分量的高斯波，类狄拉克点的纵模就很容易激发出来。图5给出了这种波源入射到规则的正方晶格光子晶体后的电场分布。图中分别为26行×21列光子晶体中通带12.5 GHz、类狄拉克点13.225 GHz和通带13.5 GHz的电场分布。
从图中可以看出，对于通带12.5 GHz,入射波经过结构以后不是平面波，并且结构内部的场分布也是通常的横模，所以此处的透射率随无序的增加而减小。
对于类狄拉克点13.225 GHz和通带13.5 GHz,有限的光子晶体结构都可以等效成一个折射率近似为零的零折射率材料，入射波通过结构以后都会有高斯波到平面波的转化。
但是，只在13.5 GHz处的场分布看到了这种转化，这就说明类狄拉克点13.225 GHz处的纵模被激发出来了，并且纵模严重影响了结构中电磁波的传输。如图所示，入射波经过结构以后发生了明显的变化。
结构内部的场分布即不像零折射率材料具有均匀的场分布，也不像通常的通带，这主要是由于类狄拉克点处较平的纵模被高阶的非零平行波矢激发出来。
作为一种非传统的传播模式，纵模对类狄拉克点的微波传输特性有很大的影响，使类狄拉克点的透射率随着无序的增加而减小。
仿真中我们发现随着整个光子晶体结构大小的增加，纵模的影响会减弱，表现为图中类狄拉克点的曲线斜率会减小。
从图可以看出，对于通带13.5 GHz,可以看到高斯波到平面波的转化。由于在13.5GHz附近不受纵模影响，结构的等效折射率近似为零，此时结构的等效波长很长，近似无穷长。所以此频率点附近的透射率受无序的影响很小，表现为透射率几乎不发生变化。
但是，在无序度很大的时候，13.5 GHz附近的透射率就会随无序的增大而减小。Chan等也对纵模做过部分研究。他们也发现在类狄拉克点处由于纵模的干扰没有波阵面的转变，而在高于类狄拉克点频率的地方，结构具有等效的近零折射率材料的特性。
结语
当入射的高斯波源激发出类狄拉克点的纵模时，由于受纵模的干扰，类狄拉克点的透射率随着无序度的增加而减小，与通带的行为类似。
而在类狄拉克点频率偏上不受纵模干扰的地方，其透射率几乎不受无序的影响，这主要归功于其等效的近零折射率材料的特性。
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