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今天我们将送出由图灵新知提供的优质科普书籍《几何世界的邀请》。
平面几何是观察判断与逻辑思考的精妙结合，是初等数学教育中培育创造力的好途径。本书为日本数学家、菲尔兹奖得主小平邦彦先生的几何入门作品，书中以欧几里得几何、希尔伯特几何、复数与几何为轴线，由浅入深，层层深入，从作为图形科学的几何、作为数学的几何等不同角度介绍完整的几何世界，是几何入门、训练思维与创造力的佳作。
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作者：Judith Grabiner
翻译：Nothing
审校：loulou
欧几里得
很显然，几何是数学中一个非常有用的分支。我们需要用它去进行测量，用它来理解物体的形状，还需要用它进行导航。
但我想说的是几何学的内涵比这些丰富的多：它与人类的思想和生活的各个方面都有关系。
首先，让我们介绍一下公认的“几何学之父”：古希腊数学家欧几里得。欧几里得的工作是系统研究几何学的最早的例子。当你做一个几何中的一般性陈述时，例如毕达哥拉斯定理，如果你想证明这个定理，那么你需要从一些不言而喻的陈述中将它推导出来。两千年来，欧几里得的系统性方法似乎证明了有关几何物体的各种真理，从而达到了确定性。
欧几里得式严谨
很多后来重要的思想家相信，只要用和几何学相同的方法，其他学科也可以获得和几何学一样的确定性。比如勒内.笛卡尔说，如果我们从不言而喻的事实（又称公理）开始并通过符合逻辑的手段从这些已知事实中推导出更加复杂的多的事实的话，那么就没有什么东西是我们不知道的。哲学家巴鲁赫.斯宾诺莎甚至写出《依几何次序所证伦理学（简称伦理学）》（Ethics Demonstrated in Geometrical Order）一书，这本书中有明确的公理和定义。他宣称要证明上帝的存在并像数学家一样用QED三个字母结束自己的证明。
在自然科学中，艾萨克.牛顿的著作《自然哲学的数学原理》充分展示了欧几里得的影响。牛顿将他的著名的运动定律称为“公理”并推导出他的万有引力定律。牛顿有句名言，“几何学的伟大之处在于，它能用如此少的原理推导出那么多的内容。”
这里还有一个欧几里得影响之深远的例子。《美国独立宣言》旨在通过欧几里得式的形式激发人们对其确定性的信心。托马斯·杰斐逊比其他任何一位美国总统都更了解他那个时代的数学知识，他一开始就说“我们认为这些真理是不言而喻的：人人生而平等。”宣言中还有其他不言而喻的真理，他用了“证明”这个词，并阐述了建立美国的实际宣言。这些通过逻辑导出的结论以“因此”开头：“因此，我们……宣布这些联合殖民地是，而且应该是自由和独立的国家。”
所以在哲学，技术，科学和政治学中，理想化的欧几里得推理模型塑造了关于证明，真理和确定性的概念。
欧几里得公设
欧几里得前四条公设：
1、任意两个点可以通过一条直线连接。
2、任意线段能无限延长成一条直线。
3、 给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
4、所有直角都全等
在调查欧几里得几何学的影响之前，让我们先看一眼这些几何学赖以建立的假设，或者说公设。头四条公设写在上面的表格中。这些公设都非常简单，没有人会怀疑它们。但是还有第五条公设，叫做平行公设。
如果落在两条直线上的直线使得同一侧的内角加起来小于两个直角之和，那么两条直线（如果无限延长）会在这一侧相交。
看不懂？请看下图：
这条公设是说，如果角A和B加起来小于180度，那么绿色的两条直线将在黑线的右侧相交。
我有时会让我的学生投票这条公设是不是不证自明的，大部分同学认为不是——
因为你需要画张图才能把它讲清楚。但如果它不是显然的，它就不应被直接拿来用，而是应该从其他的公设中将它证明出来。希腊人尝试证明它但是他们失败了。伊斯兰数学家和犹太数学家包括17,18世纪的欧洲数学家也都失败了。
不过，希腊人证明了第五公设等价于平行线的唯一性：给定一条直线L和线外一点P,那么在L所属的平面内通过P点且与L平行的直线只有一条。
欧几里得和物理
欧几里得从来没有谈论过他的几何图形所处的空间，但他好像假定了这个空间无穷大、各个方向是等价的，并且还假定空间中每一点都是等价的。
后来的思想家，尤其是文艺复兴时期的思想家，讨论了很多关于空间的话题。他们同意之前的假设。
空间应该是什么样子要遵循充足理由原则，这乍一看非常合理：
对于一切事物，都有一个原因，使它必须是这样而不是其他样子。
这条原则至少和阿基里德本人一样老，它使我们可以解释我们周围的世界。例如：我们为什么可以说距离支点同样远的两个同样重的物体可以保持平衡？好吧，为什么不呢？因为没有任何理由使得其中一边下沉，对另一边来说也是，因此它们一定会保持平衡。
在距离支点相等距离处重量相等的重物使杠杆必须保持平衡。
充分理由原则最伟大的支持者是17世纪大数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨，他坚信上帝也会使用这个原则，并根据逻辑定律，来构造整个宇宙。既然上帝依据逻辑创造了世界，我们人类就可以理解它。
其中一个著名例子是牛顿第一运动定律的发现，它是在牛顿50年前由笛卡尔和皮埃尔·加森迪独立发现的。这条定律是说，一个没有受力的物体以恒定的速度沿直线运动。为什么？他们是这样想的：物体沿着直线持续运动，因为它没有理由向其他方向转，毕竟所有的方向都是一样的。它以恒定的速度运行，因为它没有理由加速或减速：空间中的所有点都是相同的，物体没有理由喜欢某一点而不是另一个点。类似的论述可以证明一个静止的物体在不受力时一动不动。
充分理由原则威力强大，它好像暗示我们居住的空间和欧几里得几何学的空间一样。这并不奇怪，17、18世纪的思想都是欧几里得式的。例如，牛顿物理学暗中依赖于欧几里得第五假设。你在学校应该都遇到过力的平行四边形定则。想要证明平行四边形的性质需要用到欧几里得几何学，也就是第五假设。
这也是为什么18世纪的数学家这么想证明第五假设。因为它非常重要。不光几何学，科学的各个方面都需要它。一个有趣的例子来自于约瑟夫.拉格朗日：充分理由原则给他留下了深刻的影响，所以他想用这个原则证明第五假设。虽然他的论点是有缺陷的，但是我们可以看到一个重要的事实：如此重要的数学家愿意走到台前，把欧几里得空间与充分理由原则联系起来。
欧几里得和哲学
哲学同样被欧几里得的思想渗透。一个很有影响力的哲学家伊曼努尔.康德说，空间是存在于我们思想中的事物，在我们的思想中的空间都是完全一样的。对于康德来说，这些空间一定是欧几里得式的。
为了证明我们可以理解抽象事物的事实，康德利用了欧几里得的证明：三角形的内角和等于两个直角之和。这个证明中使用了几何结构。我们从哪里得到的这些结构？不是从纸上——几何学并不涉及真实存在的三角形或者直线。“你在你头脑的空间中创造了他们。”康德说。
欧几里得的证明需要第五条假设。因此，关于三角形内角和的定理在欧几里得空间中才成立。康德并没有明确这么说，但是他说只有一种空间。对于康德来说，除了欧氏空间没有其他选择了。
伏尔泰是把欧几里得空间视作真理的另一位哲学家。他认同18世纪普遍存在的观点，即普遍达到共识是真理的标志。他说：“几何学上没有宗派。没有人会说“我是欧几里得人，我是阿基米德人。”只要你能证明真理，整个世界都会支持你的观点。“对伏尔泰来说，数学是一个例子，道德也应该如此！他写道：“只有一种道德，就像只有一种几何学一样。”
建筑与艺术作品中的欧几里得
近代的艺术作品和建筑同样反映了欧几里得关于空间的观点。这是文艺复兴时期第一幅重要的透视画：
马萨乔的三位一体
现在我们可以让二维的画面看起来像三维的因为我们有照相机、电视和iphone。在文艺复兴时期，他们没有这些。所以让二维的画看起来像三维的对他们来说非常激动人心。文艺复兴时期这样的技术显然来自欧几里得几何学。
对比文艺复兴时期和中世纪时期的作品就可以发现两者的明显差别：
一块贝叶挂毯。
这些人看起来和城堡一样大！这是一件美妙的作品，但没有让人产生三维的感觉。
但在文艺复兴时期的作品中，我们可以获得不同的空间感：
卢西亚诺·劳兰（Luciano Laurane）或梅洛佐·达·福尔（Melozzo da Forl_）的理想城市。
创造文艺复兴时期艺术所用的几何学实际上是欧几里得几何学的：来自《几何原本》和欧几里得的《光学》的知识对于艺术家所用的透视理论是绝对必要的，并且他们预先假定了欧几里得的第五个假设成立。
建筑学也教会我们把我们的世界看作欧几里得的。现在你可能在一个满是平行线的房间里，到处都是等距的墙，它们都与地板成直角，所有这些都具有欧几里德用他的第五个假设证明的性质。如果你想给人们洗脑，让他们相信空间是欧几里得式的，你就会设计这样的房间。
所以，这就是18世纪的世界：对称，平衡，基于不言而喻和必要的真理，引入欧几里得空间。我们可以自己理性地解决这一切。
原文地址：
https://plus.maths.org/content/how-euclid-once-rules-world
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编辑：loulou
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