（一）寻找第五公设的“证明”
欧几里得约在公元前300年完成了他不朽的杰作《几何原本》。在《几何原本》中，欧几里得采用了一些公理和公设，严密地给出了全部命题的推理和证明。两千多年来，这部伟大的著作一直流传于世。许多数学家都相信欧几里得几何是绝对真理。例如英国数学家巴罗，牛顿的老师，就曾列举了8点理由来肯定欧氏几何：概念清晰；定义明确；公理直观可靠而且普遍成立；公设清楚可信且易于想象；公理数目少；引出量的方式易于接受；证明顺序自然；避免未知事物。因此，巴罗极力主张将数学包括微积分都建立在几何的基础上。
然而，这个近乎科学“圣经”的欧几里得几何并非无懈可击。事实上，从公元前3世纪到18世纪末，数学家们虽然一直坚信欧氏几何的完美与正确，但有一件事始终让他们难以释怀，这就是欧几里得《几何原本》的第五条公设：

图11.1 第五公设
公设5 若一条直线与两直线相交，且如果在这条直线同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。
人们对它的怀疑有两点：其一为叙述较长，失之简明；其二为出现较晚，只用一次。这唯一的一次也就是在《几何原本》卷I命题29证明平行线的性质定理时，作为反证法的依据使用，此后再也没有出现过。
所以，人们在猜疑：欧几里得把这一命题列为公设，不是因为它不能证明，而是他本人找不到证明。因此，从古希腊时代开始，数学家们就一直没有放弃消除对第五公设的疑问的努力。古希腊数学家普罗克鲁斯（Proclus，412—485）就曾说过：“这一公理应该完全从全部的公理中剔除出去，因为它是一个包含许多困难的定理。”后来，许多数学家都在试图给出第五公设的证明。但是，这些“证明”大多是证明了一些和第五公设等价的命题。
所谓等价命题是说，如果在公理系统∑中，对于两个命题P1、P2有：，则说P1和P2是两个等价命题。
与第五公设等价的命题有：
（1）三角形内角和等于180°；
（2）平面上一直线的斜线与垂线相交；
（3）三角形三高共点；
（4）三角形全等；
（5）勾股定理；
（6）存在相似三角形。
如此等等。在众多与第五公设等价的命题中，今天最常用的是苏格兰数学家普莱菲尔（Playfair，1748—1819）提出的：
过已知直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线。
这一命题比第五公设更直观，也更容易接受。它被写进了中学教科书，称为“平行公理”。
文艺复兴唤起的对希腊学术的兴趣，使欧洲数学家非常关注《几何原本》的研究，对第五公设的证明也倾注了比以往更大的热情。法国数学家勒让德在大约20年的时间里一直在研究平行公设。他将《几何原本》的命题重新编排，简化烦琐的证明，改写为《几何学原理》。此书再版了12次，每次都有个附录，认为给出了平行公设的证明，但是，每次的证明都有缺点，因为总是暗含地假设了一些不应该假设的东西，或者假设了一个和第五公设“等价”的“公设”，从而不得不修订再版。1733年，意大利数学家萨开利（G.Sac cheri，1667—1733）出版了一本书《欧几里得无懈可击》，他在书中构造了著名的“萨开利四边形”，试图用“归谬法”证明第五公设。他发现：

图11.2 萨开利双直角四边形
∠C和∠D是直角与平行公设等价；
∠C和∠D是钝角导出矛盾；
∠C和∠D是锐角：两条相交直线有一条公垂线！
而且由第三条导出的所有结果并没有包含矛盾。但萨开利认为它们不合情理，便判定锐角假设是不真实的。这遭到了兰伯特（J.H.Lambert，1728—1777）的反对。
兰伯特是一个裁缝的儿子，12岁因家贫辍学做工，可他凭借顽强的毅力，刻苦自学，走出了自己的成才之路。他的主要数学贡献有：证明π和e的无理性、画法几何、数论、连分数理论和平行公理。1766年，兰伯特在《平行线理论》中指出：
任何一组假设如果不导致矛盾的话，一定提供一种可能的几何。这种几何是一种真的逻辑结构……一种特别的几何。
寻求另一个可接受的公理以代替欧几里得公理，或者证明欧几里得的第五公设必然是一个定理，致力于此的人是如此之多，又是如此徒劳无功，使得1759年法国数学家达朗贝尔把“平行公理”问题称为“几何原理中的家丑”。
（二）鲍耶：“我从虚无中创造了一个崭新的世界！”
J.鲍耶（Janos Bolyai，1802—1860）是维也纳军事学院的一名军官。他的父亲F.鲍耶（Farkas Bolyai，1775—1856）也是一位数学家，而且在哥廷根大学时与高斯是同窗好友，在返回匈牙利后，仍然和高斯保持密切的联系，两人经常通信讨论数学。F.鲍耶曾致力于证明第五公设，但是除了找出几个等价命题之外，毫无收获。受父亲的影响，J.鲍耶从小就迷恋上了数学，也对平行公理问题产生了兴趣。但是，当父亲知道儿子也醉心于平行线时，坚决叫他停止这项工作：
希望你不要再作克服平行线理论的尝试了，你会花掉所有的时间而终生不能证明这个问题。……它会剥夺你一切余暇、健康、休息和所有的幸福。这个地狱般的黑暗将吞吃成千个像牛顿那样的巨人。……这是永远留在我心里的巨创。
不过，幸运的是，J.鲍耶找到了一条成功之路。1823年11月23日，他给父亲写了一封信：
……一旦我把思路理出头绪，并且条件许可，我就决意公布我关于平行线理论的工作。虽然所有的工作现在还没有最后完成，可我所走的路，一定会到达目标。面对已经作出的美妙的发现，我几乎无法控制内心的喜悦。如果它们被丢失了，那才将是永生的遗憾。当您看到它们的时候，您也会理解的。此时此刻，我想要说的只有一句话：我从虚无中创造了一个新奇的世界。
父亲很快就回了信，鼓励他尽快发表。父亲说，就像春日的紫罗兰到处开放一样，一旦时机成熟，新的思想可能在不同的地方同时出现。1832年，J.鲍耶把自己的工作作为附录附在父亲出版的一本书《为好学青年的数学原理论著》（1832）中，题目是《绝对空间的科学，和欧几里得第十一公理的真伪无关……》。父亲非常希望儿子的工作能得到数学家的承认，他首先将书寄给了高斯。不久，高斯就回了信——一封使父亲和儿子都感到失望的信。高斯说：
如果我一开始就说我不能称赞这一工作，你一定会大吃一惊的。
但是，我别无选择：称赞它就是称赞我自己。论文中的全部内容，令郎的工作方法以及获得的结果，与我30到35年来的思考几乎完全一致。正因如此，我感到非常惊讶。……原来，高斯在年轻的时候也曾思考过平行线的问题，当试图证明平行公理的努力失败后，高斯开始考虑否定平行公理，建立一种新几何学，并在1816年左右得到了这种新几何的要旨，他发现在这种几何中，大尺度下的三角形内角和居然小于180°！——这与人们的常识完全相悖。高斯称这种几何为反欧几里得几何（anti Euclid Geometry）。但是，由于怕引起人们的误解，高斯从没有、也不准备公开发表这方面的任何东西。
尽管在信的结尾，高斯说他感到很高兴，因为看到了自己被老朋友的儿子所超越。但是，不难想象，J.鲍耶在读到高斯的信后是多么沮丧，他以后再也没有发表任何数学论文。
（三）罗巴切夫斯基：“几何学的哥白尼”
F.鲍耶的话说对了，新的思想、新的发现在几乎相同的时间内，可以在不同的地方同时发生，数学史上有很多这样的例子，如牛顿和莱布尼兹发现的微积分，笛卡尔和费尔马创立的解析几何，勒让德与高斯的最小二乘法。现在则是非欧几何。
1826年2月23日是数学史乃至人类思想史上值得纪念的日子。这一天，俄罗斯数学家罗巴切夫斯基（N.I.Lobachevsky，1792—1856）在喀山大学物理数学系宣读了他的论文《简要叙述平行线定理的一个严格证明》。这一天被认为是非欧几何学诞生的日子，它标志着几何学领域发生了根本的变革。
罗巴切夫斯基生长在一个贫苦的公务员家庭中，他的一生几乎全在喀山度过。在那里上中学和大学，毕业后留校工作，后来升为教授，历任物理数学系主任、喀山大学校长。他一生的活动，奠定了喀山大学的兴盛和光荣。
罗巴切夫斯基在1816—1817年编写《几何学》时，开始尝试证明第五公设。他发现，可以把全部的几何命题按照是否依赖第五公设划分为两个部分。他把那些不依赖第五公设的几何命题称为“绝对几何”。但是，罗巴切夫斯基的这种思想在一开始就遭到了批评。
罗巴切夫斯基并没有放弃。“绝对几何”中有这样的命题：在一个平面上，过直线AB外一点，至少可作一条直线与AB不相交。“至少”一词表明命题的结论包含两种可能，一是仅可作一条直线与AB不相交；二是可作不止一条直线与AB不相交。如果采用前者作为公理，就可以导出欧几里得几何。罗巴切夫斯基想：如果选择后者作为公理，由此推出与绝对几何定理相矛盾的命题，这不就等于证明了第五公设吗？正是在这一思想的指导下，罗巴切夫斯基开始了严密的推导。使他感到惊讶的是：他所得到的一连串前后一贯的命题，自身在逻辑上既无矛盾，又与“绝对几何”不相冲突。罗巴切夫斯基把这种新的几何系统叫做“虚几何学”。
罗巴切夫斯基的“虚几何学”的主要特点是什么呢？简单地说，在这种几何中：（1）承认空间是弯曲的，任何直线都是曲线，任何平面都是曲面；（2）其所描述的空间曲率处处等于一个非零常数，就是说空间处处一样弯，并且是均匀的；（3）过已知直线外的一点，可以有无数多条直线与已知直线平行，但是它们和已知直线都不能保持同一距离；（4）三角形的内角和不再是180°，而一个小于180°的变量。（5）圆的周长与半径不成比例，而是比半径增长得快。
需要指出的是，以上所述的非欧几何只是其中的一种，习惯上称为罗巴切夫斯基几何或双曲几何。我们知道，两千多年以来，欧氏几何一直是解释现实空间的唯一正确的几何。哲学家黑格尔就曾说过：“初等几何就欧几里得所遗留给我们的内容而言，已经可以看做相当完备了，不可能有更多的进展。”现在，罗巴切夫斯基公开宣告有一种完全不同于欧氏几何的“新几何学”的存在，这是对根深蒂固的世俗观念的挑战！高斯缺乏的就是这种勇气。正是在这个意义上，后人称誉罗巴切夫斯基为“几何学的哥白尼”。
高斯的担心并不是多余的。伟大的思想并不常常马上为人们所理解，罗巴切夫斯基不但没有得到同代人的赞扬，反而遭到了种种嘲讽。有人说，新几何学是一种“笑话”，是“对有学问的数学家的讽刺”。
1829年，罗巴切夫斯基在《喀山通讯》上发表了他的《几何学原理》，这是世界上最早公开发表的非欧几何文献（比J.鲍耶要早3年）。以后又陆续发表了《虚几何学》（1835）、《虚几何学在一些积分上的应用》《几何学的新原理及完整的平行线理论》。《虚几何学》的法文本和德文的《平行线理论的几何研究》使得欧洲的数学家们开始理解并接受罗巴切夫斯基的思想。在罗巴切夫斯基死后不久，高斯的通信录开始出版，人们看到，高斯在给朋友的信中对罗巴切夫斯基的工作给予了很高的评价。这样，罗巴切夫斯基的新思想渐渐引起了数学界的重视。
1893年，喀山树立了罗巴切夫斯基的纪念像。他的形象和他的思想，永远为人们所景仰。值得欣慰的是，历史也没有忘记J.鲍耶，1894年匈牙利数学物理学会也在他的墓地立起了他的石像——他和罗巴切夫斯基、高斯一起作为非欧几何的创立者载入了人类文明的史册。
（四）黎曼的贡献
正如F.鲍耶预见的，非欧几何的思想可能就像春日的紫罗兰一样到处绽放，不过这一次却是在1854年。黎曼，高斯的博士生，为了在哥廷根大学获得一个无薪讲师的职位，需要发表一篇就职演讲。在他提交的三个题目中，高斯选中第三个《关于作为几何学基础的假设》，也正是这篇演讲，使得黎曼跨入了非欧几何发现者之列——因为，黎曼完全从不同于罗巴切夫斯基、鲍耶的角度，构造了另一种非欧几何空间。
黎曼认为，非欧几何不仅仅只有一种。他推广了曲面的高斯曲率，建立起黎曼空间的曲率概念。在一般黎曼空间中，空间每一点的曲率是不同的，也就是说黎曼空间本质上是不均匀的。在黎曼曲率为常数的特殊情况下，空间分为三种类型：（1）零曲率空间，即欧氏几何空间；（2）负曲率空间，即罗氏几何空间；（3）正曲率空间，即狭义的黎曼几何空间或称椭圆几何空间。我们看到欧氏几何和罗氏几何成了更为一般的黎曼几何的特例。
在黎曼几何中“平行公理”被替换为：通过已知直线外一点，不能画一条直线与已知直线平行，或者说，黎曼几何中的任意两条直线都相交。普通的球面可以作为黎曼几何的一种朴素的模型，因为，在球面几何上定义球面的大圆为“直线”，许多看似奇特的非欧命题，在这个模型中都可以得到实现。比如，垂直于同一条直线（如赤道）的两条直线必然相交（于两极）；不存在无限长直线的概念；三角形三内角之和大于180°；等等。
黎曼1851年在高斯指导下完成博士论文《单复变函数的一般理论的基础》。他的就职演讲也是高斯选定的——或许是高斯为了了却自己心中的一个夙愿。但是，在他的听众中，除了年迈的高斯之外没有一个人听得懂！这篇演讲在黎曼死后两年即1868年才出版。这一年意大利数学家贝尔特拉米（1835—1899）给出了罗氏几何的一个“局部”（比如三角形内角和小于180°）；接着克莱因（1849—1925）在1870年给出了罗氏几何另一个更直观、更简单的模型，使得原来似乎复杂和难以接受的思想变得易于理解了。以他们两人的工作为契机，非欧几何在数学领域的地位才牢固地确立起来。更为重要的是，黎曼几何后来成为爱因斯坦相对论中的数学工具。

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