平衡问题：物体不受力或所受合外力为零，这是物体处于平衡的条件。解决此类问题的方法很多，包括正交分解法、矢量三角形法、相似三角形法、利用拉密定理……
矢量三角形：矢量合成的平行四边形定则可以用矢量三角形法则来等效替代。把代表两个分矢量的有向线段首尾相连，则合矢量就从第一个矢量的起点到第二个矢量的末端。以此类推，若一个物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则代表三个力的有向线段必定构成封闭三角形。
利用矢量三角形法在处理三力平衡问题和两力的加速（减速）问题时是非常方便的，像摩擦角这样四力动态平衡问题，用起来也很方便！尤其是动态平衡中求极值的问题迅速得到解决，而且非常直观。
解决动态平衡的一般步骤如下：
①确定研究对象；
②分析对象状态和受力情况，画出示意图；
③将各力首尾相连，画出封闭的矢量三角形；
④根据题意，画出动态变化的边角关系；
⑤确认未知量变化情况。
一、两力作用下的动力学问题
例1、如图所示，固定的斜面A和放在斜面上的楔形木块B的倾角均为θ=30°，已知斜面A的上表面和木块B的表面均光滑，木块B的质量为M，上面放有质量为m的小球C，当用平行于斜面的力F作用在木块上时，木块B和小球C保持相对静止，求推力F及木块B对小球C的弹力的大小。
解析：解决动力学问题，先对物体进行受力分析。选择小球为研究对象，小球受到重力和B对小球的支持力（两个力），作加速运动；选择整体为研究对象，小球和木块受到重力，支持力和推力。根据条件，小球和木块加速度相同，根据牛顿第二定律，解决此题的关键是求出木块B和小球C保持相对静止时的加速度大小。
由于小球与木块相对静止，故小球C受到的合力方向必定和木块B的加速度的方向相同（平行于斜面），即沿斜面向下。用三角形法则作出小球受到的合力（N与G的箭头收尾相连，以便画出合力），如图所示。
由于弹力N的方向与木块B的上表面垂直，因此弹力的方向与竖直方向的夹角为60°，不难看出，矢量三角形为等边三角形，即N=ma=mg，小球的加速度大小为g，以球和木块整体为对象，由牛顿第二定律可知
解得推力的大小为:
二、三力作用下的动态平衡问题
例2、如图所示，光滑的小球静止在斜面和竖直放置的木板之间，已知球重为G，斜面的倾角为θ，现使木板沿逆时针方向绕O点缓慢转动，求小球对斜面和挡板的压力怎样变化?
解析: 选择小球为研究对象，分析小球受力如图所示，小球受重力G、挡板的支持力N1和斜面的支持力N2，小球在这三个力的作用下处于平衡状态，这三个力可构成矢量三角形(如上图)。
挡板绕O点缓慢移动，小球处于动态平衡。因挡板对小球的支持力N1（如图所示，红色箭头逆时针旋转）的方向与水平方向之间的夹角由0°缓慢变大，重力的大小和方向都不变，斜面的支持力N2的方向不变，由矢量三角形知斜面的支寺力N2必将变小，而挡板的支持力N1将先变小后变大。
总结：
（1）第一个力大小方向都不变——重力G
（2）第二个力方向不变——斜面的支持力N2
（3）第三个力的方向在旋转，导致大小也变化——挡板的支持力N1
（分别用蓝色和红色标出）
例3、 如图所示，固定斜面的倾角为30°，斜面上的木块在水平力作用下处于静止状态，不计斜面摩擦。现在不改变作用力的大小，只改变作用力的方向，使木块仍然保持静止状态，则前后两种情况下斜面对木块的弹力之比是多大？
解析：本题实为动态平衡问题，要求木块静止时等大的作用力，首先应选择对象进行受力分析。
受力分析如图所示，设木块的质量为m，根据几何关系，初状态下斜面对木块的弹力大小为
接下来如何寻找一个大小相同的力使物体依然静止呢？在只改变作用力的方向、不改变作用力大小的情况下求斜面弹力时，利用作矢量图的方法可以使问题迎刃而解。画三角形，由于木块在共点的三个力作用下处于平衡状态，则这三个力的矢量必构成一个矢量三角形。此处物体的重力G大小、方向是确定的，斜面弹力N1的方向也是确定的，根据几何关系，可作出前后两种情况下力的矢量图，如图所示，F1与F2分别为改变前后的推力（F1与F2关于中的虚线是对称的！），N1与N2分别是改变前后的支持力。
由于F2=F1，F2的方向斜向上与水平方向夹角为60°，有
故N1: N2=2:1。
例4、半径为R的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面B的距离为h，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图所示，现缓慢地拉绳，在使小球由A到B的过程中，半球对小球的支持力N和绳对小球的拉力T的大小变化的情况是
A、N变大，T变小
B、N变小，T变大
C、N变小，T先变小后变大
D、N不变，T变小
（相似三角形法）解析：当第一个力大小方向不变，但是第二个力的方向也在变化时，可以用相似三角形。如图所示，由于缓慢地拉绳，小球缓慢运动（绳子拉力T、球形物体的支持力N的方向都在变），视为始终处于平衡状态，重力G不变，支持力N，绳子的拉力T一直在改变，但是总形成封闭的动态三角形（图中小阴影三角形）。可以发现，实物（小球、绳、球面的球心）形成的三角形也是一个动态的封闭三角形（图4中大阴影三角形），并且始终与三力形成的封闭三角形相似，则有如下比例式：
可得：
运动中各量均为定值，支持力N不变。正确答案D。
三、四力作用下的动态平衡问题（摩擦角问题）
1、摩擦角的概念
如果摩擦因数等于某一角的正切值，即，就称这个角为摩擦角。对滑动摩擦因数，相对应的称之为滑动摩擦角，记为；对于静摩擦因数，相对应的称之为最大静摩擦角，称之为。
2、几何意义
由于接触面的正压力与摩擦力总是相互垂直的，因此两者的合力与的夹角满足
这正是摩擦角的定义，也就是说图中角即是摩擦角。
所以摩擦角的几何意义是：接触面的合力与正压力之间的夹角。还应该明白，最大静摩擦角，对于物体受到的静摩擦力等于最大静摩擦力时的摩擦角。
3、物理意义
对给定的滑动摩擦因数，对应的滑动摩擦角是一个定角，根据摩擦角的几何意义可知，接触面的合力与正压力之间的夹角一定，因此，接触面摩擦力和正压力的合力随外界条件（如改变外力的大小方向）的改变而改变时，只会改变大小，不会改变方向。
我们再定义：当静摩擦力未达到最大值时，接触面摩擦力和正压力的合力与正压力之间的夹角为静摩擦角，记为，那么有
即存在静摩擦的接触面，用摩擦角来表示不发生滑动的条件是：静摩擦角小于等于其最大静摩擦角，即：
4、摩擦角的应用
例5、如图，在水平面上放有质量为m，与地面动摩擦因数为
的物体，现用力F拉物体使其沿地面匀速前进，求F的最小值及方向。
解析：物体m受重力mg，地面支持力
、动摩擦力
及拉力F（方向未知）。设
与
的合力为R，并且R与竖直方向夹角为θ，此时可视为物体m受R、F、mg三个力作用而匀速前进，则R与F的合力必与mg等值反向，要使F为最小值则需表示F的有向线段为最短，故应使F与R垂直，此线段最短，F为最小，如图，由矢量图可知：
其中
由动摩擦力 式：
由几何关系：
则
，方向为与水平面成
斜向右上方。此题也可用正交分解法列方程来求解，但计算较繁琐。
例6、一物体质量为，置于倾角为的斜面上，物体与斜面间的滑动摩擦系数为，若使物块沿着斜面匀速向上滑动，求拉力的最小值。
解析：物体受力如图所示，为与的合力，为滑动摩擦角，由于物体匀速滑动，因此拉力与的合力恒为，又因为一定，所以当拉力改变时，只改变大小，不改变方向。
在以上的约束条件下，可做出图所示的矢量图：
不难看出与垂直时，取得最小值
这是一道常规题目，通常求解方法是根据共点力平衡公式，再求三角函数的极值。在此我们利用摩擦角的概念来求解，既方便又直观，更可贵的是，显示了变化时的动态情况。
例7、将质量m＝5kg的木板置于水平桌面上，其右端三分之一长度推出桌子边缘，木板与桌面间动摩擦因数为μ，试求欲将木板推回桌面所施加的最小推力。
解析：木板受力为：重力mg、支持力FN、摩擦力Fμ和推力F。因Fμ与压力成正比，所以Fμ和FN也成正比，两者的合力方向F合是确定的，且tanα＝Fμ/FN＝μ，可得α＝30°，如图。
刚好推动木板的条件是合力恰好为零，即重力、推力和F合三个力的合力为零。重力和推力的合力应该与F合共线。做重力、推力、及其合力的矢量三角形如图，可知当推力与合力的方向垂直时，其值最小，如图中的F2。可解得 Fmin＝mgsinα＝25N，方向：与水平方向的夹角为30°向上。
此题将支持力和摩擦力合成为一个方向恒定的力F，通过这种巧妙的转化，可做出矢量三角形，有此法求解。
四、矢量极值问题
例8、质量为m的带正电小球A悬挂在绝缘细线上，其电荷量为q，且处匀强电场中。当小球A静止时，细线与竖直方向成30°角，如图所示，求匀强电场强度E的最小值及其方向。
解析：由于小球受重力、电场力和绳的拉力处于静止状态，故小球所受的重力和电场力的合力一定沿绳的方向向下。根据三角形法则可做出重力、电场力及其合力的矢量三角形，如图。可见当电场力qE和合力F垂直时，电场力最小，即E最小。
由几何关系得：mgsin30°＝qE
解得：E小＝mg/2q
方向：垂直于绳向上
例9、真空中存在空间范围足够大的、水平向右的匀强电场。在电场中，若将一个质量为m、带正电的小球由静止释放，运动中小球速度与竖直方向夹角为37°（取sin37°＝0．6，cos37°＝0．8）。现将该小球从电场中某点以初速度v0竖直向上抛出。求运动过程中，求小球的最小动量的大小及方向。
解析：首先做出电场力和重力的合力F，再做出初动量P0的方向。根据动量定理可知，合力的方向和动量变化ΔP(Wewuli)的方向相同，根据三角形法则，作出P0、ΔP、和末动量Pt的矢量三角形，如图，当Pt垂直于ΔP时，动量最小。
解得：Pmin＝mv0sin37°＝0．6mv0，方向：与电场方向成37°向上。
此题是将电场力和重力合成，得到合力F的方向，从而得到动量变化ΔP的方向，通过转化，得到了动量的矢量三角形，此方法很简便。
例10、如图小球被轻绳系着，斜吊在光滑劈面上，小球质量为m，斜面倾角为θ，向右缓慢推动劈，在这个过程中，绳上拉力最小值是多大？
解析：小球受重力mg、斜面支持力
，轻绳拉力
三个力作用，在劈缓慢向右运动过程中，三个力的合力为零。作出力的矢量如图，其中mg大小方向不变，
方向不变只是大小变化，
大小方向均变化，但是
与
的合力R与mg等值反向，由mg的大小和方向可作出R的大小和方向，过R的矢量末端作出与矢量
的平行线，要使拉力
最小则需
与
相垂直，表示
大小的有向线段为最短，则拉力
为最小，此时轻绳与斜面相平行，拉力最小值
为所求。
本题通过力矢量合成作图，经过不断变化最终找出表示
的最短边长，从而确定出
的极值。
例11、小船在静水中运动速度为
，水流速度为
，且
，设河宽为L，求小船渡河的最小位移。
解析：如图所示，以矢量
的末端P为圆心，以矢量
的大小为半径画圆，过矢量
的始端O作该圆的切线OA，当合速度v的方向沿OA方向时渡河位移最小，此时船头指向（即
的方向）与上游河岸的夹角为
此时渡河最小位移为
通过对两个分速度矢量的合成分析而确定出最小位移的方向，再运用几何知识求出位移s的最小值。
总结：当三个矢量关系能组成矢量三角形，且其中一个矢量恒定（定力）；另一个矢量的方向恒定，大小可以变化（定向）；第三个矢量大小和方向都在变化（变力）。满足以上条件可以直接用矢量三角形法求第三个矢量的最小值，且只有垂直时最小。若矢量三角形中只有一个矢量恒定而俩个矢量大小和方向都在变化，这时注意相似三角形法的使用，看矢量三角形与几何三角形是否相似。
