怎么学好"三点共线的等价关系"题型？
因为在高考里面比较重要，这个视频里面给了四个例题，希望大家跟着一起多练几个。
例题3，例题3m、n分别告诉我们它在这个线上面的位置关系，这里是2：1，这边的比例关系是1：2。
·比例关系第一反应就是on向量可以写成1/3的OA向量，再加上2/3的OC向量。这个用的是爪字形，因为这里不是有个爪字吗？两份对到的是OC向量，所以就把它写好了。
·同样的道理把OM向量也一样的这样写出来，OM向量可以写出来是1/3的OB向量，再加上2/3的OA向量。
·这样写好了之后再去看一下这个式子，这个式子要求把它全部转化成OA、OB、OC，OA、OB、OC是三个，有点像奔驰定理的感觉。但是这里没有面积，与面积无关的时候说明奔驰定理应该是要找跟它面积相关，这里肯定不是往奔驰定理方向发展的。
·应该怎么处理？再观察一下，这里还有一个爪字形，相当于有3个爪字形，有两个是确定的，有一个是不确定的。还有哪一个？还有AM，所以也就是要把这个式子，像奔驰定理的式子全部转化成ANAO和AM，它们的系数相加是1，这里面的入是不是就求出来了？所以这里面的OC向量是里面可以找得到的，OB向量也可以找得到。
·所以转化一下，对它进行带路，转换一下，OC向量就可以写出来是等于3/2的ON向量再减去1/2的OA向量。
·同样的道理把这里的OB向量也转化一下，OB向量等于的是3倍的OM向量，再减去2倍的OA向量。
这两个式子，1、2这两个式子全部代入到3号式子里面去，就可以得到一个这样的式子，得到一个入OA向量，再加上9倍的OM向量，减6倍的OA向量，加6倍的OA向量减去两倍的OA向量。
再稍微整理一下，因为这里面OA向量是不是比较多？所以就可以写出来，它其实是入减掉8倍的OA向量，再加9倍的OM加6倍的on向量，等于0向量。刚刚一开始已经说到了，说这个地方的OM和ON最终都要转化成AN和AM，所以就可以再代入一次。
这里的OM向量不就等于什么？不就等于AM减去AO，这里的的ON向量不就是AN向量减去AO向量，所以再代入一次进去，这个式子就可以再整理一次，得到的是AN-入加7倍的AO向量等于9倍的AM向量，再加上6倍的AN向量。
这一部代入人老师就省略了，代入之后进行化解，就会发现AO向量是不是应该等于的？是AN-A加7分之9，然后AM向量加上入加6/7AN向量。现在发现什么？发现这三点共线了，看到吧OMN3点共线+7，它们的系数之和应该等于一M，也就是可以列出入加9/72，加上入加6/7应该等于一2，AN-自然而然就可以算出来它等于8，这一题就可以得出它是8。
来看下一题，例题4，他说在这个三角形里面哒哒哒，然后从这个式子开始出发，这个地方有一个PA向量要转化成PB和PC，很明显会发现这个图里面的PD才是重点，如果把它转化成了PD还有PB还有PC这三个东西，很明显也是系数相加等于一。
但同时还要注意一下，这里有一个特点，设的是m和3/2减m这两个圈里面加起来的和，竟然为什么？为3/2和为3/2，说明之前讲过的等和线就可以用的上了。这里的PA一直到这个位置竟然是3/2倍，说明等和线里面可以得到PA项量去比上PD项量就等于3/2。
接下来告诉你的是AP等于9，说明把9分成这样子，3份拿了2份，所以这一边是3，这一边是6，也就是可以进一步得到PD的长应该等于的是6，PD的把AD的长就应该等于的是3，是不是就很方便了？
得到这样一个条件之后其实也可以把PD转换掉，把PA向量转换掉，把它写成什么？PA向量不就是3/2的PD向量代入进去，所以就可以得到3/2PD向量等于m倍的PB向量，再加上3/2减m这么多的PC向量，同样的把3/2搂过去，把它变成2/3mPB，再加上乘进去，乘一个2/3，就是1-2/3m，系数之和是不是应该会等于一？
当然对于做这道题目写这一步是没有用的，只是相对来说可以转换进去一下，但对于做题来说是没有任何帮助的。如果写了个这个东西会发现一点用都没有，因为人家本来就是告诉你等和线，现在又把它重新推回等和线，所以没有任何意义。
这里要用一个余弦定理，为什么会想到用余弦定理？刚刚不是根据PD等于6，AD已经知道等于3了吗？这个等于的是6，这个等于的是3。
你看一下这个三角形这一段长，人家告诉你等于的是3，这一段长人家告诉你等于4，这里就是直角，根据勾股定理是个3、4、5，所以你知道BC其实等于的是5。
那我们又利用一下什么？利用一下这个角是不知道的，你要去求的是CD长，我们完全可以设CD等于什么？设CD等于的是t，所以你在这个三角形ACD中完全可以用什么？用余弦定理，那么这个题目才能做出来，而不能往回去再给它带进去，去验证那个等额线其实是无效的，相当于是一个空的约束。
好，那么这样一来，我们来试一下，这里面可以列出的那个余弦定理，就有AD的平方，等于的是AC平方，再加CD平方，再减2倍的ac乘以cd乘以cos0，这里的cos0指的是这个角度，那么cos0，我们根据大三角形，或者说根据RT三角形ABC，这个cos0，其实等于的是5分之3。
好我们把它带入进去一下，这里是9，等于的是9加t平方减去6乘以t，再乘以个3/5。好整理一下，你会发现这个t算出来就等于的是1/518，那么这个题目就可以做出来了。这算是一道比较简单的题目了，关键就是这个思维上面，一定要有这种发散性。
你看到这个东西，是不是应该想到用解三角形的方法去做？用解三角形，而不要继续用向量了。好这是我们例题4。
来看下一题，如图在三角形ABC中，它告诉我们AM和AN之间的一个位置关系，然后问我们这样一个式子里面，x跟y有什么关系？最后求x这个东西的最小值。好看到这样一个式子，很明显可以知道，前面的x跟y肯定可以得到一个等式。
根据之前我们学的什么，学的不等式，那么就可以知道，它前面x跟y肯定有一定的关系。好这里又告诉我们的是AD，用AN和AM换，AM表示，你一眼发现这个AD应该。要表示的是什么？表示成多少个AB再加多少个AC。这里的AE也应该表示的是什么？表示的是多少个AB加多少个AC，而且这几个人加起来的和应该为几？这里加起来是一，这里加起来是一，所以这里的和应该为2。
换句话说，AD加上AE，如果可以转化成多少个AB和多少个AC，它们的系数和应该等于2，那就转化一下，把这里的AM换成AB，把AN换成AC，这个题目是不是就做完了？
来换一下，AM等于的是2/3个AB，所以这边就应该是2/3的x个AB，这里AN等于的是1/3个AC，代入进去就是应该是1/3个y的AC。说明什么？说明三分之二x加上三分之一y应该等于的是2，也就得到了2x加上y等于是6。
这样一来就立马可以得到，这个是指这里用了下什么？用了下等和线，也可以说用了一下爪字形。如果对这个有不熟的可以翻我前面的题型。
这样一来得到了这个式子，是不是就用之前讲过的均可等式，也是一的妙用。2x加y去乘以一个x分之一加上y分之2，然后这边乘的是一个6，再给回一个1/6，整理一下这个式子就可以了。
稍微简单计算一下，这里就会大于等于1/6的括号，根号下2，再加上根号下2的平方，所以就会大于等于6/8，也就是大于等于3/4，这个题目最小值就4/3，也就可以选到B选项。
看到第三题，第三题在三角形ABC中，人家又是这样子，稍微画一个图，M是BC边上的任意一点，随便点一点，N是AM上面的任意一点，这里又再点一点，并且满足什么？an等于类目打倍的AB加上music。
看到这样一个东西第一反应就是AM可以写成多少倍的AB向量再加多少倍的AC向量，但是这里给的是什么？给的是AN，AN跟AM有什么关系？不就设一个吗？设一个AN向量等于t倍的AM向量，把它们的关系给它设出来。
整理一下这个式子就可以变成什么？变成t倍的，不是要转化成AM吗？上面这个式子就可以转化成t倍的AM向量，等于的是入倍的AB向量再加u倍的AC向量。
知道这里加这里应该等于的是一，这个式子就相当于进一步再往下划变成AM向量等于t分之入的AB再加上t分之y的AC，这两个人系数等于一，加上y比上t应该等于一，不就是在问入加u应该等于t，这个t的范围是多少吗？看到没有？求取值范围，不就求t的取值范围吗？
看一下t是什么东西？t是指AN和AM的比值关系，对不对？N点在AM上面运动，t的范围要么是什么？要么是0，0能不能取得到？看一下是线段上面的任意一点，所以0可以取得到。一个可以取得到也可以取得到，0指的是N点刚好在A点，一指的是N刚好在M点，所以它从A到M之间晃荡就是0-1这个范围，所以答案自然就选C选项。
所以这几道题目回顾一下，即使反复代用的是爪字形，看到有比例或者看到这种状态，看到这种状态，一个这样的爪字形，这三点是一条线，就用爪字形。
这一个题型就讲到这里，nice！
