千奇百怪的函数图像（第三集）——三角函数家族，魅力四射（神奇六边形手游）

前面两集主要讨论了多项式函数，幂函数，指数函数，对数函数。这集重点看看三角函数家族，三角函数非常有用，内容又十分的丰富，对于一个函数，一般要考察的性质，比如单调性，奇偶性，周期性，有界性等，在三角函数身上基本上都要讨论一遍。三角函数为啥重要？想想傅里叶级数吧，一个函数当然是性质越丰富越有用了，因为可以表达的信息越多。先看看正弦和余弦函数吧：

一，正弦和余弦函数

下面图1-0绘制了正弦和余弦函数，放一起看看这两个函数吧，正弦函数“蓝色”曲线表示，余弦函数“红色”曲线表示，可以看出来：

（1）正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数；（奇偶性）

（2）正弦和余弦函数都是周期函数，最小正周期都是2π；（周期性）

（3）正弦和余弦函数只能在[-1,1]之间变化（有界性）

（4）正弦函数比余弦函数提前π/2.

图1-0

必须指出的是，正弦函数和余弦函数都出自“单位圆”，单位圆上的一个点，横坐标就是余弦弦函数，纵坐标就是正弦函数，图1-1中OM=cos(x),MN=sin(x),正弦函数和余弦函数就像一对双胞胎兄弟一样，并没有哪个比哪个好，sin(x π/2)=cos(x)

图1-1

正弦和余弦函数还有以下联系，或者说关联：

（1）(sinx)'=cosx，(cosx)'=-sinx

（2）∫sinxdx=-cosx C ，∫cosxdx=sinx C

二，正切和余切函数

正切函数就是y=tan(x)，这个函数的定义域为x ≠ π/2 k π，k是整数。图像如下图2-0所示，这个函数是个奇函数，所谓奇函数，就是图像关于原点对称。这个函数是个周期函数，最小正周期为T=π，这个函数在每个周期里都是单调递增函数。这个函数有无数条竖直渐近线，也就是说在x =π/2 k π处（k是整数）函数趋于无穷大，可以看出在渐近线两侧它的行为相反。这很有趣！

图2-0

余切函数就是y=cot(x)=1/tan(x),显然它和正切函数互为倒数，余切函数定义域：x ≠ k π，k是整数。下面是余切函数图像。可以看出，余切函数也是奇函数，也就是说它也关于原点对称，它也是周期函数，最小正周期为π，在每个周期内都是单调减函数。这个函数有无数条竖直渐近线。

图2-1

现在让我们把正切和余切函数画在一起看看吧，怎么样，是不是很和谐，这两个函数其实也有一个对称轴，就是x=π/4,也就是说可以用对称的方法，知道一个函数，对称出另外一个函数。好了，用心感受数学的美吧，忘掉考试！

图2-2

上面把基本的4种三角函数绘制了，可是这远远不够，请让我们继续看看其他的三角函数吧。

三，正割和余割函数

来来来，不要怕，毕竟他不是老虎，不会吃人。“丑妻”看多了也就不丑了，有人惧怕这些函数，比如正割，余割，反正切，反正割之类的函数。我想说：“畏惧的根源在于无知！”不要怕，再难的事物也是一点一滴学习积累起来的。

正割函数y=sec(x)=1/cos(x),它和余弦函数互为倒数，这是值得思考的，为什么不是正弦函数sin(x)的倒数叫正割？下面是正割函数的图像，想必有人已经背下来了，也有人从来没见过，也有人觉得好奇怪，其实很有趣，根本不需要背，只需要会画余弦函数就行，先绘制y=cos(x),找到y=cos(x)的零点，这些点就是y=sec(x)的垂直渐近线，必然经过（0，1），最小值一定在y=cos(x)等于1的点，然后根据奇偶性，周期性很快就能绘出草图，下面我们可以看出这个函数“开口很方”，有点像二次函数。

图3-0

下面是余割函数图像：

图3-1

正割和余割函数都是周期函数，都具有无数条竖直渐近线，正割函数是偶函数，余割函数是奇函数！

将上面讨论的几个函数放一起看看呢。

四，一图搞懂sin(x),cos(x),tan(x),cot(x),sec(x)和csc(x)的关系

图4-0

这个图最牛逼的地方在于六个顶点代表六个函数。有以下12个重要结论：

(1)对角顶点的函数互为倒数；（3个关系）

cot(x)=1/tan(x)

sec(x)=1/cos(x)

csc(x)=1/sin(x)

(2)每个顶点的函数等于该顶点相邻函数之积；(6个关系)

sin(x)=tan(x)cos(x)

cos(x)=sin(x)cot(x)

cot(x)=cos(x)csc(x)

csc(x)=cot(x)sec(x)

sec(x)=csc(x)tan(x)

tan(x)=sec(x)sin(x)

(3)倒三角的平方和等于下面顶点的平方。（3个关系）

sin²α cos²α=1

tan²α 1=sec²α

1 cot²α=csc²α

这里多说两句，最重要的平方关系：sin²α cos²α=1

对于上面等式，两边同时除以cos²α,就可以得到sin²α/ cos²α 1=1/ cos²α，这个关系也就是

tan²α 1=sec²α；

如果对于上面等式，两边同时除以sin²α,就可以得到1 cos²α/ sin²α=1/ sin²α ，这个关系也就是1 cot²α=csc²α；

也就是说这三个平方关系本质同源！

就问你这个六边形牛不牛！

我给他起个名字吧，就叫“神奇六边形”。

有一类函数也是十分重要，那就是反三角函数，接下来看看反三角函数的图像吧！

五. 反正弦和反余弦函数

下面是反正弦函数，我们知道一个函数图像和它的反函数的图像关于y=x对称（切记这个，这是学反函数最重要的一条！），下面图5-0就是要说明这个事实，图5-0绘制了y=sin(x)和y=arcsin(x)以及y=x的函数图像。

（1）可以看到y=sin(x)和y=arcsin(x)图像关于y=x对称，

（2）不得不注意的是反三角正弦函数的定义域为[-1,1]，反函数的定义域就是原函数的值域；

（3）y=arcsin(x)的值域为[-π/2,-π/2],反函数的值域就是原函数的定义域；

（4）反函数和原函数具有相同的单调性，这个事实也可以从图5-0看到，他们在相应区间都是单调增函数。

（5）反三角正弦函数y=arcsin(x)是个奇函数，意味着它关于原点对称；

（6）还有个重要的特点就是，y=sin(x)和y=arcsin(x)在x=0附近基本上和y=x重合，这就是说当x足够小的时候，可以用y=x近似代替y=sin(x)和y=arcsin(x)。有人问足够小是多小？当x<0.1时，sin(x)和x之间的差就已经小于2e-4(万分之2)了，当x<0.01时，sin(x)和x之间的差就已经小于2e-7(千万分之2)了，这已经足够精确了，所以经常会看到有这样的近似说法：当x足够小(x≤0.01)的时候，sin(x)≈x,arcsin(x)≈x，甚至有tan(x)≈x.是不是很有趣！