你是无理的
也是神秘的
举国欢庆，明天就要开始放假了。
后来想想，国庆假期我好像要写文章，发文章，那这假期跟我啥关系？
此时的我，留下了悔恨的泪水，写下这篇让你们无法无眠的文章。
今天，超模君先从康威常数开始，跟各位模友分享那些神秘的常数。
康威常数
λ ≈ 1.303577269
老顽童康威
在讲康威常数之前，超模君先带大家了解一下外观数列（Look-and-say sequence）。
1，11，21，1211，111221，312211，13112221，1113213211，31131211131221，……
这个数列有非常多有趣的特点：
①它以1开始，序列的第n 1项是对第n项的描述。
比如：第5项是111221，描述就是3个1，2个2，1个1， 可得下一项就是312211。
②按照①的规律，这个数列会越来越长，但是它永远都不会出现除了1，2，3之外的数字；
1987 年，喜欢研究各种趣味数学的康威看着这个数列，觉得非常有趣，然后就开始研究，“一不小心”就发现了一个“明显”的规律！
随着n的增大，相邻两项数字长度的比值 L(n) / L(n-1) 会越来越接近一个固定的数。这个数就称为“康威常数”，用 λ 表示，康威证明了它是一个无理数。
同时，康威还指出这个数是下面这个71次方程的唯一正实数解。
x^71 - x^69 - 2*x^68 - x^67 2*x^66 2*x^65 x^64 - x^63 - x^62 - x^61 - x^60 - x^59 2*x^58 5*x^57 3*x^56 - 2*x^55 - 10*x^54 - 3*x^53 - 2*x^52 6*x^51 6*x^50 x^49 9*x^48 - 3*x^47 - 7*x^46 - 8*x^45 - 8*x^44 10*x^43 6*x^42 8*x^41 - 5*x^40 - 12*x^39 7*x^38 - 7*x^37 7*x^36 x^35 - 3*x^34 10*x^33 x^32 - 6*x^31 - 2*x^30 - 10*x^29 - 3*x^28 2*x^27 9*x^26 - 3*x^25 14*x^24 - 8*x^23 - 7*x^21 9*x^20 3*x^19 - 4*x^18 - 10*x^17 - 7*x^16 12*x^15 7*x^14 2*x^13 - 12*x^12 - 4*x^11 - 2*x^10 5*x^9 x^7 - 7*x^6 7*x^5 - 4*x^4 12*x^3 - 6*x^2 3*x - 6 = 0
欧拉常数γ ≈ 0.577
数频-欧拉常数R ≈ 0.273
为啥会有两个常数？
我们先来看一个古老的调和级数：1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 ……
随着分母的不断增大，每一项增加的数会越来越小，这样无限加下去，直觉上这个级数会收敛到一个固定的值。
然而，这个级数却是发散的。。。尽管相加的分数会越来越小，但是这样无限进行下去，它们的和也会变得无穷大！
早在1360年，数学家Oresme就证明了这个级数是发散的，证明方法也是非常简单：1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 ……=1/2 1/2 (1/4 1/4) (1/8 1/8 1/8 1/8) ……解释：后一个级数每一项对应的分数都小于调和级数中每一项，而且后面级数的括号中的数值和都为1/2，这样的1/2有无穷多个，所以后一个级数是趋向无穷大的，进而调和级数也是发散的。
此后，数学家们一直想要用数学公式来逼近调和级数，却毫无进展，直到无穷级数理论逐渐成熟。
1665年，牛顿在他的著作《流数法》中推导出了第一个幂级数：
1734年，欧拉利用牛顿的成果，首次得到了调和级数有限多项和的值：
1 1/2 1/3 … 1/n = ln(n 1) 1/2*(1 1/4 1/9 ... 1/n^2) - 1/3*(1 1/8 1/27 ... 1/n^3) ......
由于后面那一串数是收敛的，欧拉由此判断它们将无限趋近一个常数，用C表示。即：
1 1/2 1/3 … 1/n= ln(n 1) C（常数）
欧拉还近似地算出了这个常数 C ≈ 0.5772156649。这个数字后来被称为“欧拉常数”。
到了1790年，意大利数学家马歇罗尼（Lorenzo Mascheroni) 引入了 γ 作为这个常数的符号， 并把这个常数计算到了小数点后32位，因此“欧拉常数”也称“欧拉-马歇罗尼常数”。
不过，2015年出版的《数频科学》指出“欧拉常数”是欧拉的一个致命错误！由于欧拉的误算，导致这个常数与调和级数完全无关（但可以独立成立）。数频-欧拉常数 R≈0.273才是调和级数与自然对数的差值的极限。
钱珀瑙恩常数
C10 ≈ 0.123456789101112
前面两个常数也许你会觉得有点抽象，不太理解，那这个钱珀瑙恩常数就十分简单了，它是指：将所有正整数从小到大写成一排，然后在前面加个小数点，就ok了！
即：0.12345678910111213141516 ……
这个常数是由英国统计学家钱珀瑙恩（Champernowne）于1933年构造出来的，用符号
表示。
和其他的常数不同，钱珀瑙恩常数并没有描述任何一个数学对象，它只是为了论证一些数学问题而被构造出来的。它可以用无穷级数来表示：
不过，钱珀瑙恩常数也有一些特殊的性质：
①它是一个无限不循环小数，因此它是一个无理数；②它不是任何一个整系数多项式方程的解，因此它是一个超越数；③每一种数字或者数字组合出现的机会都是均等的，因此它是一个正规数。
黄金分割
φ = (1 √5)/2 ≈ 1.618
黄金分割数0.618是公认的最具有审美意义的比例数字，关于它的诞生，有这样一个传说：
相传，在公元前6世纪的某一天，毕达哥拉斯在街上闲逛，在经过一家铁匠铺时，听到一段很动听的铁匠打铁的敲击声，于是便走进去，量了量铁砧和铁锤的尺寸，发现他们之间的比例很有趣，后来，经过无数次的试验之后，得到了这样一个结论：线段长度比例约接近0.618，敲出来的声音就越优雅！
0.618与1.618互为倒数
虽然这只是一个传说，但是黄金分割的最初来源确实是来自毕达哥拉斯。在公元前6世纪的时候，毕达哥拉斯学派就研究过正五边形和正十边形的作图。
在正五边形里AC/AB=BC/AB=0.618，CD/BC=BD/BE=0.618
在正十边形里，AB/OA=0.618。
公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统地研究了黄金分割问题，并建立起比例理论。
到了公元前300年左右，欧几里得吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，并将这些研究成果写进了《几何原本》，它是最早的有关黄金分割的论著。
黄金分割无处不在，几乎所有与美有关的东西，都会与它扯上关系。遍布各种名画、摄影、建筑、音乐等等，甚至炒股、战争布局、医学……
而在数学上，还有这样一个“黄金分割数列”，就是“斐波那契数列”。
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144·····
这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。而在这个数列中，还隐藏着一个0.618。
随着数列项数的增加，前一项与后一项之比会越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887..…
放假虽爽，可不要贪睡哦。
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