解算术题时的心理表征
在解决算术应用题时，常常会涉及到一些与日常情况有关的小问题。例如，减去一笔钱来计算购物后钱包里还剩多少余额，需要多长时间才能将一个浴缸装满水？这些都是典型的数学练习题，目的是帮助学生们学习如何在具体的现实生活中使用抽象的数学概念。
但是，要如何将描述特定情况的一系列语句转化为一个能求出答案的算法过程呢？越来越多的研究表明，这些问题被编码成一种包含了数学信息（如数字、要执行的运算）和非数学信息（如问题的上下文）的心理表征（mental representation），然后被转化为解决算法。
关于解决算术应用题时所涉及的心理表征的本质和作用，在科学界一直存在争论。如果能理清这些表征，就能帮助我们更好地理解计算策略的选择，并调整教学方法。
在一项于近期发表在《记忆&认知》杂志的研究中，一组研究人员在分析了儿童和成人在解决简单问题时绘制的图画后发现，无论参与者的年龄如何，最有效的计算策略都与某些绘画类型有关。
基数与序数问题
在新的研究中，研究人员要求59名10岁的儿童和52名成人用尽可能少的计算步骤，解决12道简单的算术应用题。其中，有6个问题的上下文涉及到数字的基数性质，即一个集合中元素的数量；另外6个问题涉及到数字的序数性质，即它们在有序列表中的位置。然后，参与者被要求为每个问题绘制一幅图，解释他们对每个陈述的解答策略。
一个涉及到基数问题的例子是：Paul有5个红色的弹珠，也有蓝色的弹珠，他总共有11颗弹珠。Jolene有和Paul一样多的蓝色弹珠，还有一些绿色弹珠，她的绿弹珠比保罗的红弹珠少2颗。问，Jolene共有多少颗弹珠？
一个涉及到序数问题的例子是：Sofia走了5个小时，她从白天开始走，11点到达。Fred和Sofia是同时离开的，Fred的行程比Sofia短2个小时。问，Fred几点到的？
这两个问题具有相同的数学结构，并且都可以通过3步的解法来解决：11−5= 6、5−2 = 3、6 3=9；也可以通过使用简单的减法，用只需1步的解法求得：11-2 = 9。但它们的心理表征是非常不同的。
研究人员想要知道，是否可以通过表征类型来预测解题者的计算策略——是采用1步的策略，还是3步的策略。
绘制心里表征
对于基数问题，研究人员假设，它会激发绘制基数图的灵感，即具有相同单个元素（如圆圈）的图表。
研究人员假设的弹珠问题的基数表征。（图/Gros et al. / Memory & Cognition）
比如弹珠问题中涉及到的是一堆没有固有顺序的弹珠，因此没有必要把弹珠按特定的顺序排列，所以参与者应该倾向于把不同颜色的弹珠看作是分开的、不同的集合，他们应该先计算Jolene有多少颗蓝色弹珠，然后把蓝色弹珠和她有的绿色弹珠相加。
同样，对于序数问题，研究人员假设，它会激发有序的表征，使参与者绘制有数轴、刻度、间隔的图表。
研究人员假设的旅行问题的序数表征。（图/Gros et al. / Memory & Cognition）
比如在旅行问题中，他们会倾向于绘制一条事件的时间轴。当从这个角度考虑问题时，就更容易理解不需要计算Fred旅行的时间和他出发的时间。仅从Fred和Sofia是同时出发，且Fred的行程比Sofia短2小时这一点，推断出Fred比Sofia早2小时到达。因此，这种序数表示使参与者有可能确定一个较短的解决策略：11−2 = 9，这是参与者在解决弹珠问题时很少使用的。
通过绘图识别心理表征
通过分析这52名成人和59名儿童的绘画，研究人员验证了他们的假设。他们在儿童和成人身上都得到了相同的结果，即对基数问题和序数问题的表征有着非常明显的差异。这证明了无论参与者的年龄、经验如何，他们对解答策略的使用取决于他们对问题的表征，而这受到问题陈述中包含的非数学信息的影响。
弹珠问题和旅行问题所共有的深层结构。（图/Gros et al. / Memory & Cognition）
正如研究人员所假设的那样，研究结果表明，显示有序表征的绘图更频繁地与只需1步的解决方案联系在一起，即使问题是基数问题。换句话说，使用刻度或数轴进行绘图，在找到最快的解决方法方面更有效。
这一发现为数学教学开辟了新的视角。从教育学的角度来看，这意味着分析学生的算术图可以进行有针对性的干预，帮助他们将问题转化为更优的表达形式，进而更好地理解最直接的解决策略。
