作者：大神团·卢云深
作者介绍：卢云深，新东方智慧学堂授课老师，清华大学机械工程与自动化学士，清华大学材料科学与工程专业硕士。
阅读难度：优秀初中学生及以上
经常去游乐场或公园游玩的人，很有可能曾经见到过下图所示的弹球抽奖游戏。
在这种游戏中，通常你花费10元就可以获取一个弹球。之后使用弹簧发射弹球，当弹球落入最远端的格子内就可以获得大奖。
游戏摊主会先向你展示如何得奖， 只见摊主轻轻控制力度，弹球很容易就落入了获奖区。
看你有些意动，但仍然犹豫不决，摊主甚至会让你免费试玩两次。
你试验了两次，发现真的很容易得奖，当然这时获奖也是不算数的。
然后你就交钱正式开始游戏。结果，无论如何都无法让弹球落到远端获奖区。
力度要么太小，导致弹球速度过低，早早便下落进入无奖区；又或者力度太大，弹球沿弹珠台的圆形边沿高速滚动，一头撞上那颗限位的钉子，然后竖直下落进入无奖区；总之无论如何操作你都再也得不到那诱人的奖品。
你以为自己只是运气不好，没有把弹射的力度控制得正好。
这时摊主又开始怂恿你继续花钱练习：“反正只要中一次，你之前打十次二十次花的钱就能回来，何不再来几次？”
如果这时候有一名高中物理老师走过，他一定会很快看出这个游戏的蹊跷。
首先，我们知道当弹球在弹珠台的圆形边沿运动时，其所受重力在圆形边沿径向上的分量与边沿的支持力之和，充当了圆周运动的向心力。
当弹球在竖直面上作圆周运动向上滚动时，重力势能增加，动能减少，速度降低，弹球圆周运动所需的向心力也会减少。当弹球速度降低到一定程度时，弹球需要的向心力将完全由重力的径向分量充当，弹珠台边沿不再给与弹球支持力，从此刻开始，弹球将脱离圆周轨道开始斜抛运动。
此时，在连接弹球的位置与圆形轨道的圆心作线段，此线段与竖直方向的夹角可以称为脱离角α。
假想一个完整的圆周轨道，弹球作斜抛运动再次落回圆周的位置称为落回点，落回点与圆心连线和竖直方向夹角可以称为回归角β；弹球发射时所具有的机械能，决定了它何时会脱离圆周，也就决定了脱离角α，此时回归角β也唯一确定为3倍α。
那么当我们在圆周上与竖直方向夹角为60°的地方钉入一颗钉子，这就限制了弹球自然脱离圆周的角度α必须大于60°，这也就意味着回归角β大于180°，弹球自然脱落只能落入近端的无奖区或小奖区。
但是，为什么摊主演示的时候，可以轻松使弹球飞过圆周竖直中线到达大奖区？
这就意味着，弹球绝对不是因为速度过低自然脱离圆周轨道的。
遵循这种思路的指导，当我们仔细观察弹珠台的时候可以发现，摊主演示或者玩家试验的时候，弹珠台的圆形边缘会有一个非常微小的鼓包，这个小鼓包就可以使高速的弹球提前脱离圆周轨道，并且不撞到限位的钉子。
这一点微小的变化，就能极大改变弹球的最终落点，制造出大奖很容易得到的假象。当你真正付费开始玩这个弹球游戏时，摊主可以通过隐藏的机关收回这个小鼓包，同时又不引发他人注意，最终达到诈骗的目的。
只有当我们掌握了质点在竖直面内圆周运动的规律时，我们才不会再被这类骗局所骗到。
而前述回归角β一定为脱离角α的三倍的详细证明过程，就放在下面提供给感兴趣的同学观看。
当质点自然脱离圆周轨道时有
其中 ；
脱离时刻水平分速度
竖直分速度
圆周内水平位移
脱离时相对圆心高度
落回点相对圆心高度
在圆周内斜抛运动用时
圆周内斜抛运动竖直方向位移
将②代入⑦，再连同③⑤⑥代入⑧得
再代入①式得
再代入④式
此时g与R都被消去，说明落点角度β同g与R无关。
代入中学学过的和差化积公式
消除公因式
移项整理
代入和角公式
得
此方程在单位圆内有四个解，分别是
因此可知，质点竖直圆周运动自然脱离轨道的情况下总有 。
作者介绍：卢云深，新东方智慧学堂授课老师，清华大学机械工程与自动化学士，清华大学材料科学与工程专业硕士。本文原创自新东方智慧学堂（ID：zhihuixuetang_xdf），与精英为伍，成就未来精英。
