优雅完美的圆

优雅完美的圆

首页休闲益智完美的圆更新时间:2024-05-11

一.概念描述

现代数学:圆的定义一般有以下三种:

①平面上到定点O的距离等于定长r的全体点组成的一条曲线称为以点O为圆心、以r为半径的圆周,简称圆,记为⊙O或⊙O (r)。

②到定点的距离等于定长的动点的轨迹称为圆。该定点称为圆心,定长称为圆的半径。

③给定一条线段,使其绕它的一个固定的端点在平面内旋转一周,其另一个端点所经过的封闭曲线称为圆。线段的固定端点称为圆心,线段长称为圆的半径。

小学数学:关于圆的概念,小学数学教材中一般没有直接给出定义,而是举出一些生活中常见的圆形的物体,如钟面、硬币,车轮等来说明圆。到了初中,教材中才出现圆的定义,如2009年人教版教材九年级上册的第79页指出:圆是到定点的距离等于定长的点的集合。但也有的教材,用描述性的语言来说明什么是圆,如2003年浙教版教材六年级七册的第54页是这样描述的:圆是由一条曲线围成的封闭图形,这条曲线上的每一个点到中心点的距离相等。

二.概念解读

圆是数学中最基本的图形,圆的定义可以归结为两种:一种是圆的描述性定义,即线段OA绕它的固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所经过的封闭曲线叫作圆。实际上,这个圆是由无数条有公共端点的等长线段的另一端点所组成的图形。这种定义法直观形象,

但是“无数条有公共端点”中的“无数条”既不具体,也不确切、明白,因此,又用集合引进了圆的定义,即到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆。这种定义把圆看成满足某种条件的所有点的集合(全体),这就明确了:①圆上的每一个点到圆心的距离都等于半径;②到圆心的距离等于半径的每一个点都在圆上。即圆上的“点”,既不“多”,也不“少”,从理论上对圆给予了严格的定义。

人们很早就开始了对圆的研究。我国春秋战国时期的数学家墨翟在2400多年以前,就对圆进行了科学的描述,墨翟在他所著的《墨子》一书中写道:“圆,一中同长也。”说的是:"圆,有且只有一个中心,圆上各点到圆心的距离都相等”

从数学的角度看,圆具有很多特性。古希腊的毕达哥拉斯学派认为,在平面图形中,圆是最美的图形。这是因为圆是由一条曲线首尾相接构成的。古希腊人认为曲线是最美的,这可能是由于曲线的变化比较平缓柔和,因而让人感觉优雅而恬静。此外,圆还有很多特性,如圆具有各点均匀性,从圆上任意一点到圆心的距离都相等,圆周上各处的弯曲程度相同;圆还具有广泛的对称性,圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,任意一条直径所在的直线都是它的对称轴,绕圆心旋转任意大小的角度都能与原图形重合;在固定周长的所有图形中,圆的面积最大……此外,圆中还蕴含着“化曲为直”、“以直代曲”、“极限”的数学思想方法。

圆在日常生活中随处可见,如车轮,井盖、钟面,花池、纽扣以及水面上的圆形波纹等都是圆形的,真是数不胜数。此外,人们还经常将圆运用到图案设计和建筑造型中,如奥运会上的五环旗和草原上的蒙古包等。可以说,圆不仅使我们的生活交得方便舒适,还将我们周围的世界变得五彩斑斓。

圆还是人们的精神寄托---圆具有均匀、对称、圆顺和不偏不倚、公正、公平、客观的品质,因此,中国历来崇尚圆的文化。此外,圆中蕴含了许多哲理和规范,没有规矩、不成方圆,天圆地方等都是中国的传统思想。

综上所述,虽然圆是一个基本的几何图形,但其内涵却是相当丰富的。

三.教学建议

(1)充分经历圆的动态生成过程,探究圆的本质特征

圆是学生认识的第一个曲边图形,具有丰富的教育内涵,因而在教学上会出现很多不同的方法和途径。但不论怎样演绎,有一点是达成共识的,那就是要紧紧抓住圆的本质特征,让学生充分经历圆的动态生成过程,探究“圆之所以为圆的本质所在”。在这一点上,有几位老师演绎得非常出色。如华应龙老师的“大成若缺认识圆”。他在一上课时就抛出一个问题:宝物距离你左脚3米,宝物可能在什么地方?学生由开始只想到一个点,到最后发现宝物所在的点形成了一个圆。然后华老师通过追问“为什么宝物所在的位置是个圆?”,引导学生围绕墨子“圆,一中同长也。”探索圆与其他正多边形的联系与区别,深刻感悟圆的特征。紧接着,华老师让学生用圆规画圆。学生发现画圆的方法后,华老师又进一步追问“为什么这样做就能画出一个圆”,使学生发现只有这样做才能符合圆的特点。最后大家用圆的特征解释生活中的现象,解决生活中的问题。整节课自始至终紧紧抓住概念本质,带领学生不断进行深入探究,并在此过程中自然地进行知识点的讲解和数学思想方法的渗透,显的水到渠成。

(2)数学文化的渗透应突出数学本质

由于圆在中国文化中有着特殊的地位,因此很多老师在教学“圆的认识” 中都努力挖掘数学文化,其中不乏成功的案例。除了上面提到的华应龙老师的“大成若缺认识圆”,丁杭樱老师也做得很出色。丁老师教学“圆的认识”时,在出示“圆出于方,方出于矩”后引导学生思考:从正方形如何变成一个圆呢?然后丁老师拿一张正方形纸环绕中心点对折三次,剪割,打开得到正八边形;合起来再对折一次,剪割,打开得到正十六边形......并且利用课件演示正方形切割成圆的过程,从有限过渡到无限,将古老的数学文化与朴素的数学极限思想完美地结合在一起。

四.推荐阅读

(1)《小学数学课堂的有效教学》(刘加馥,北京师范大学出版社,2008)

该书收录了一些“圆的认识”教学的经典案例,并做了精彩的点评。

(2)《从“走近圆的世界”到“圆的认识”---关于小学数学教学有效性的几点思考》(俞敏惠,《中小学数学(小学版)》,2010年第7-8期)

该文结合“圆的认识”的一些相关教学片段,提出了自己对于数学教学有效性的思考,给予很多中肯的建议。

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