小川今年读六年级，前几天刚刚学习了长方体和正方体的表面积计算。一日，闲来无事，与他谈起把若干个同样的小正方体摆成不同长方体的话题。
我：用8个相同的小正方体摆成大长方体，有几种不同的摆法？
川：（想了一会儿）有三种拼法，第一种摆成1排；第二种摆成两排，前排4个，后排4个；第三种摆成2层，上层4个，下层4个。
我：如果把第二种摆法竖起来，它和第三种摆法是什么关系？
川：如果竖起来，后两种摆法其实就是一样的。
我：这么说的话，一共有几种不同的摆法？
川：两种。
我：确定没有其他摆法了？
川：确定。
出示用8个同样大的小正方体摆成的大正方体。
我：正方体也能看成长方体吗？
川：能。噢，一共有三种摆法，还可以摆成2×2×2的正方体。
我：这三种摆法摆成的长方体表面积相等吗？如果不等，表面积最小的是哪一种摆法？
川：应该不等。你等一会，我画个图算算看。
稍后，川指着图向我汇报。
川：第一种是8×1×1的长方体，第二种是4×2×1的长方体，第三种是2×2×2的正方体，它们的表面积分别是34、28、24，第三种表面积最小的原因是减少的面最多。
我：不仅算出表面积最小的摆法，还能分析背后的原因，很棒！那么，你还能想到什么？
川：用小正方体摆成大长方体，应该尽量摆成正方体，因为由于减少的面越多，摆成的长方体的表面积就越小。
我：先画出各种摆法的示意图，再根据各自的表面积得到最佳摆法，是一种常规的方法，比较耗时。我有一种快捷的方法，愿意听吗？
川：（兴奋地）愿意，愿意。
我：先用2个小正方体摆一摆，得到2×1×1的长方体，把这个长方体记作长方体①；然后用两个长方体①继续摆，要使表面积小，就要重叠大面，得到2×2×1的长方体，把这个长方体记作长方体②；最后用两个长方体②摆一摆，仍然重叠大面，得到2×2×2的正方体。这样直接得到摆成正方体时表面积最小，不需要画出各种不同的摆法，也不需要算出各自的表面积。
川：我懂了，每次重叠最大的面，就能保证摆成的大长方体的表面积最小。
我：（竖起大拇指表扬）是的！这就是摆出表面积最小的长方体的关键。
我：来点有挑战性的----如果用8个长3厘米、宽1厘米、高1厘米的小长方体摆成大长方体，怎样摆表面积最小？
川：（边画边说）先用2个长3厘米、宽1厘米、高1厘米的小长方体摆成3×1×2的长方体，把这个长方体记作长方体①；然后用两个长方体①摆成3×2×2的长方体，把这个长方体记作长方体②；最后用两个长方体②摆成3×2×4（或3×4×2）的长方体。
我：我们把上面的操作过程再理一理，第一次把上下两个面重叠，也就是把3×1的面重叠，高就由1厘米变成2厘米，于是得到3×1×2的长方体①；第二次把前后两个面重叠，也就是把3×2的面重叠，宽就由1厘米变成2厘米，得到3×2×2的长方体②……
川：（恍然大悟）我好像明白了，第三次把最大的面3×2重叠，另一个数据就会乘2变成4，得到3×2×4（或3×4×2）的长方体。
我：根据这个过程，如果不画图，你能按要求找出表面积最小的摆法吗？
川：能！就像刚才摆大长方体的过程，可以表示成下面这样。
3×1×1 3×1×2
3×2×2 3×2×4
我：你的意思是，每次变化中都有两个数不变，剩下的一个数乘2。不变的两个数有什么特点？
川：不变的是连乘算式中乘积最大的那两个数。例如，4×3×1中不变的就是4×3；5×3×4中不变的就是5×4。
我：这样做意味着每次要把哪两个面拼在一起？
川：这样做就表示每次都要把面积最大的两个面拼在一起，剩下的一个数乘2就表示宽或高扩大到原来的2倍。
……
用若干个同样的小正方体摆成表面积最小的长方体是“长方体和正方体”单元常见的操作活动之一，各版本教材中都有所涉及。但究竟怎么摆才能使摆成的长方体的表面积最小，我们通常会引导学生先画一画，再算一算。这样教学，尽管倍学生理解，但比较耗时费力，且容易发生遗漏（尤其是摆法较多的时候）。更重要的是，学生在此过程中缺少理性思维，题虽解了，但数学思维并没有得到充分的发展。基于此，笔者从侄儿已有的知识基础和思维能力出发，着力引导他经历“先画再算”、“只画不算”、“只算不画”这三个不同层次的活动过程，促使其思维从直观走向表象，从表象走向想象，在发现规律的同时不断发展其思维力。
第一层次，先画再算，纯直观，基于现实基础的思维起点。小学高年级是直观形象思维向抽象逻辑思维的过渡期。但是这个时期的儿童仍不能脱离直观形象思维，解题时依旧喜欢画图思考。用8个相同的小正方体摆成大长方体，怎么摆表面积最小？川的方法是先画再算。先画，明确有几种摆法；再算，知道哪种摆法摆成的长方体的表面积最小。
第二层次，只画不算，半直观，逐步把握问题的核心。基于小学高年级学生的认知特点，根据“每次重叠最大的面，就能保证摆成的长方体的表面积最小”，分布呈现相应的示意图，舍弃其他摆法，以及通过逐个计算进行比较的过程，大大节省了时间，提高了解题效率。这个层次的画图是一种“半直观”，是连接直观与抽象的桥梁。在这样的状态下，解题活动的目标不再仅仅局限于解决具体的问题，而是更多地着眼于发现规律，提升能力。
第三层次，只算不画，纯想象，思维水平得到真正的提升。在逐个观察示意图的过程中，引导学生逐步发现每次把最大的两个面重叠，就会使连乘算式中最小的数扩大到原来的2倍。在此背景下，不摆、不画，只要根据长、宽、高3个数据的大小就能推算出下次的摆法，从而得到更大长方体的相关数据。每次把最小的数据乘2，就会使长、宽、高3个数据之间的差距变小，这就暗合了“用同样的小正方体摆成大长方体，要使表面积最小，就要尽量摆成正方体或接近正方体的长方体”。如果说先画再算是思维的起点，只画不算是思维的拐点，只算不画就是思维的高点。因为在这个层次，学生能够完全摆脱直观的束缚，仅仅借助数据就能推出所要的摆法，进而使问题合乎逻辑地得以解决。
