对孩子而言，重要的不是掌握解题技巧，而是能够认识到为什么有些做法是错的，如何从错误走向正确。看似相同的问题，可能会有九九八十一变，准确地辨识问题需要孩子练就一双火眼金睛。稍不留神，就会把人和妖搞错。
之前有过一道分鱼食问题，正好以它为例来谈谈这个问题。本质上，它是排列组合中常见的分球入盒问题。
分球问题的变种
（小学生版）
In a fish tank, there are 4 distinct fish. You spread 10 distinct food pellets into the tank. How many different distributions of food pellets among the fish are possible, given that fish can receive 0 pellets？
鱼缸里有4条不同的鱼。你将10个不同的食物颗粒放入鱼缸里。假设允许给鱼分0颗的情况下，把这10个食物颗粒分给这4条鱼，一共有多少种不同的分法？
（中学生版）
In a fish tank, there are 4 distinct fish. You spread 10 identical food pellets into the tank. How many different distributions of food pellets among the fish are possible, given that fish can receive 0 pellets？
鱼缸里有4条不同的鱼。你将10个相同的食物颗粒放入鱼缸里。假设允许给鱼分0颗的情况下，把这10个食物颗粒分给这4条鱼，一共有多少种不同的分法？
这两道题都是经典的排列组合问题，抽象出来就是分球入盒问题，这个例子中就是把10个球放入4个盒子里。这两道题中的食物颗粒对应于球，鱼则对应于盒子。
分球问题有很多变种，一不小心，就会搞混。这些变种主要是由于以下3个约束条件而产生的：
（1） 球可以相同或不同；
（2） 盒子可以相同或不同；
（3） 盒子允许空或不允许空。
组合上面的约束条件，一共产生了8种不同的小球入盒变种问题，如表1所示：
表1
情况1
第一题（小学生版）就对应于表1中的第1种组合方式，这也是这类题目中最简单的。
讲解这一问题，我曾拿出一些棒棒糖，想以此举例，让孩子们更好地理解问题。
问题：把3个不同颜色的棒棒糖分给2个学生，有多少种分法？
一个孩子说有14种。他是这么思考的：
第一个学生分3个，第二个学生分0个；
第一个学生分0个，第二个学生分3个；
然后，他把3个不同颜色的棒棒糖做排列，得到6种排序方法。然后假设第一个学生分1个，第二个学生分2个，每次把排列的第一个棒棒糖分给第一个学生，剩下的两个分给第二个学生。比如，排列为ABC，那么第一个学生分A, 第二个学生分BC； 如果排列为CBA，那么第一个学生分C，第二个学生分BA。所以有6种分法。如果第一个学生分两个，第二个学生分1个，则同上，又有6种方法。因此，他认为总共为2 6*2=14种！
很快有学生意识到这有问题。问题在于：排列ABC或ACB，最后都是第一个学生分A， 第二个学生分BC，属于一种分法，因此不是一一对应的，而是有两个排列方式对应一种分法。
经过这么一点拨，他就知道，其实应该只有2 3 3=8种分法。
但这种方法拓展到更大的数就有困难。其实，我们的任务是把10个不同的食物颗粒分给4条不同的鱼，可以分成10步来完成这个任务，每一步分一粒食物。由于允许鱼可以分0个食物，每一个食物颗粒都有4种不同的分法，因此根据乘法原理，共有4*4*4*…*4（10个4相乘）=4^10种方法。
情况6之原始解法
而上面的第二题（初中生版）则对应了表1中的第5种组合方式。在解决这个问题之前，我们可以先考虑解决表格中第6种组合方式的问题，即10个相同的食物颗粒分给4条不同的鱼，并且每条鱼至少要吃到一粒。
同样，以棒棒糖举例，小朋友就很容易理解，现在哪根棒棒糖分给你已经不重要了，因为都是一样的棒棒糖，重要的是，分到了几根？
最笨的办法，当然可以枚举。比如：10=1 1 1 7， 但谁分7根，有4种分法。具体地，各种拆分和对应的不同分法如表2所示
表2
所以，总共不同的分法有：4 12 12 6 12 24 4 4 6=84种。
情况8
上述过程实际上也解决了表1第8种组合方式的问题，即10个相同的球放入4个相同的盒子，且不允许盒子为空，等价于把10拆分成4个大于0的整数之和，并且整数是无序的，也就是说，1333和3331是相同的拆分。因此，总共有9种分法。
情况6之插板法
再回到上面的问题，当数量变大时，枚举就不再适用了。那么，有没有其他的办法呢？
我们假设第一个盒子放最左边的几个球，第二个盒子放随后的球，最后一个盒子放最右边的球。
例如，我们这样划分一下，那么就对应了第一、第二、第三、第四个盒子分别放了2，3，4，1个球。反过来，每一种放法都对应了上面的一种划分。因此，这两个问题是一一对应的。
从而问题就转换成，在10个球的9个间隔中要选择3个间隔插入分隔符，从而把10个球分成4份。把3块编号为1，2，3的板放到9个间隔中的3个，一共有9*8*7种放法，但是3块板有6种不同的排列，实际上对应的是同一种划分，因此，一共有9*8*7/6=84种不同的放法，和上面的枚举结果是相同的。这就是经典的插板法！
情况5
再回到第5个组合问题，也就是如果允许盒子是空的怎么办？
孩子们第一个想到的是能插分隔符的地方从9个增加为11个，因此，共有11*10*9/6种。但很快，有孩子意识到这是不对的，因为允许空盒后，可以把几个分隔符插在一个位置。
比如，上面这种就表示第一、第二、第三、第四个盒子分别放0，0，3，7个球。
这个问题可以转化为表1中第6种组合方式的问题来做，诀窍就在于怎么去掉允许盒子为空这个限制。如果不允许盒子为空，那么我们可以再拿4个相同的球，每个盒子先放一个球，这样，后面10个球还是按照原来的允许盒子为空来放，最后的结果是没有盒子为空。
比如，最后四个盒子放的球数是3，1，5，5，那么对应的10个球的放法就是2，0，4，4。反之，如果10个球的放法为2，0，4，4，那么14个球的放法是3，1，5，5。两者是一一对应的。这里不得不多说一句，根植于很多计数问题解决方法背后的，是一一对应这一最朴素但却最有用的思想，它将会一直贯穿到函数的学习。
于是，10个相同的球放到4个不同盒子，允许盒子为空，就等价于14个相同的球放到4个不同的盒子，不允许盒子为空。从而，根据问题6的做法，共有13*12*11/6=286种。
其它情况
到此，我们讲了表1中的第1、第5、第6、第8种组合方式的解法，当然，第8种如果数量大，那么也还需要其他的解决方法。实际上，这个问题的其他组合情况的解法可以很复杂，涉及递归等更高级的技巧，这是大学组合数学内容的一部分，在此就不再介绍了。关键是，我们需要具有一双火眼金睛，能够识别出这一问题不同的变种！
（全文完）
作者：昍爸，中科院计算机博士，大学教授，博士生导师，主持国家自然科学基金4项，在国内外高水平期刊和会议发表论文60余篇。曾获初中和高中全国数学奥林匹克联赛一等奖，江苏赛区第一名，高考数学满分。著有畅销书《写给孩子的数学之美》、《给孩子的数学思维课》与《给孩子的数学解题思维课》。
