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这篇文章探索了给像特鲁谢拼块上色的方法，重点放在由此产生的视觉图案和设计上。这些方法被扩展到非正方形密铺，允许具有明显不同特征的特鲁谢图案。简要讨论了基本的奇偶性问题，并针对具有奇数边数的拼块出现的奇偶性问题提出了解决方案。介绍了一种新的拼块设计——拱形拼块，并对其艺术用途进行了说明。
1.特鲁谢拼块
1704年，法国牧师塞巴斯蒂安·特鲁谢（Sebastien Truchet,1657 - 1729)描述了一种简单的半色方砖，它可以被排列成许多有趣的几何图案[9]，贡布里希在1979年进一步探索了其艺术可能性[6]。图1（左）显示了特鲁谢拼块的发展，由两个圆弧交替的角组成，半径等于拼块边长的一半，即使是两个独特的旋转随机拼块，也能产生有吸引力的连续封闭组（右）。
图1：特鲁谢拼块和特鲁谢密铺
这种特鲁谢拼块最早出现在1960年以后的棋盘游戏中，如Trax[12]、Meander和The Black Path Game[1]，1987年冶金学家西里尔·斯坦利·史密斯(Cyril Stanley Smith)将其与特鲁谢设计的原始拼块联系在一起[11]。Gale等人的作品[5]展示了由这些改进的特鲁谢拼块形成的闭合轮廓的一些有趣的数学性质，现在通常简称为“特鲁谢拼块”。
这篇文章探索了特鲁谢拼块的颜色提供的视觉机会，这些拼块区分了相邻的区域。对基本的奇偶性问题进行了一些分析，包括将该方法推广到一些非正方形拼块时出现的奇偶性问题。不会试图对潜在的颜色进行分类或列举，也不会试图系统地探索生成的等高线内的对称性；这更多的是对一些已知拼块的新颜色的视觉探索。最后，介绍了六角形拱形拼块设计的发展，并对其艺术应用进行了简要的探讨。
2.双色特鲁谢拼块
每个拼块内不相交的区域可以用不同的色调着色，以帮助在视觉上隔离在随机拼块内形成的区域，或者仅仅是为了艺术效果。例如，Bosch 给出了一个引人注目的演示，使用了一种类似特鲁谢的7种色调的拼块[2]。
然而，本文将重点关注双色特鲁谢拼块，分为浅色和深色两种色调，如图2所示。有两种这样的双色调模式——以光为主和以暗为主——每种模式都有两个独特的旋转(左)，密铺时形成交替的亮暗区域(右)。这种双色调拼块可以根据左上角和右上角的颜色分别标记为LD和DL；请注意，LD和DL图块类型中的每一种都有以光为主和以暗为主的版本。此外，有趣的是，这种双色调拼块的直线形式在伊斯兰艺术中被大量用于Kufic书法[10]，最近用于三维艺术应用[8]。
图2：双色特鲁谢拼块。
双色特鲁谢密铺不是完全随机的，因为双色调着色赋予底层网格奇偶性，如图3(左)所示。给定一个正方形网格，该网格的顶点可以交替地标记为L和D，使得每个L与四个D相邻，反之亦然。有了这个标签，晶格的每个正方形单元就可以被分配到两种可能的拼块中的一种。每个单元格的选择可以独立进行，通过使用随机选择过程或根据逐个单元格的规则进行选择，可以轻松地生成密铺。
图3：奇偶性标签和奇偶性图
放置的第一个拼块设置奇偶性，并且每个后续拼块必须遵守该奇偶性。例如，如果左上角位置 (i ¼ 0, j ¼ 0) 的图块属于LD类型，则I或j为偶数的所有位置(I，j)必须属于LD类型，I或j为奇数的所有位置(I，j)必须属于DL类型。然而，在该奇偶性约束内，一些随机性仍然是可能的，因为每个LD和DL位置可以随机填充具有适当角标签的亮或暗主导拼块。也就是说，双色调着色所暗示的匹配条件允许无限多种可能的拼块，在这种情况下，硬币可以被翻转以决定在每一步放置哪个拼块。类似的原理应用于使用[7]中的拼块进行程序纹理生成[7]。
3. 其他偶数边的拼块
特鲁谢拼块的一般设计原则可以很容易地应用于其他具有偶数边的拼块形状。例如，图4显示的是特鲁谢的双色六边形，图5显示的是类似于特鲁谢的双色八边形。请注意八边形拼块(半规则拼块4.8.8)包含正方形的空隙，必须用具有适当奇偶性的正方形双色拼块填充。
图4：双色特鲁谢六边形。
图5：双色特鲁谢八边形(4.4.8密铺与正方形)
在六边形和八边形的情况下，同样存在两种截然不同的拼块图案，浅色为主和深色为主。但是，由于奇偶性的限制，六边形版本每个模式只有一个唯一的旋转；一旦放置了初始拼块，所有后续拼块必须具有相同的奇偶性。八边形版本每个图案有两个独特的旋转，像方形一样，奇偶性与每个相邻的八边形交替。
4. 奇数边的拼块
将同样的设计原则应用于边数为奇数的拼块是有问题的，因为交替角颜色的概念退化了。例如，考虑图6(左)所示的三角形拼块。如果左下角被声明为“亮”，右下角被声明为“暗”，那么上角的哪种颜色构成了这两种颜色的替代？一种解决方案是调整着色规则，以在两个色调约束之间加入颜色混合(图6，右)。
图6：双色三角形的奇偶性问题。
这会产生两种截然不同的图案，具体取决于混合是顺时针还是逆时针围绕其角轴从亮到暗流动。图7(左)显示了12个独特的图案/旋转组合中的6个，它们允许使用三角形密铺(其他6个组合指向下方)。
图7：双色特鲁谢三角形。
5.混合密铺
偶数边和奇数边双色拼块的定义允许更广泛的密铺。例如，图8-11显示了由三角形和正方形(3.3.3.4.4和3.3.4.3.4)以及三角形和六边形(3.6.3.6和3.3.3.3.6)组成的半规则密铺。
图8：双色三角形和正方形(3.3.3.4.4密铺)
图9：双色调三角形和正方形(3.3.4.3.4密铺)
图10：双色三角形和六边形(3.6.3.6密铺)
图11：双色三角形和六边形(3.3.3.3.6密铺)
由三角形、正方形和六边形组成的半规则密铺3.4.6.4——可以说是半规则密铺中最有吸引力的——提出了另一个奇偶性问题，如图12(左)所示。每3个六边形可以通过保持适当奇偶性的方形拼块在两侧连接；但是，对于两个六边形来说，没有一个方形图块能够以正确的奇偶性完成第三次连接。解决方案是再次调整着色规则，以定义一个新的方形拼块，其相对的角具有不同的色调，并且颜色混合满足相关的色调约束(中间和右侧)。
图12：3.4.6.4拼块的奇偶问题。
这种新拼块可以像3.4.6.4拼块一样成功地使用双色调拼块，这可能是目前为止显示的双色调拼块中最有美感的(图13)。可以看出，在定义明确的整体结构中，所得到的区域在尺寸、形状和颜色上有更多的变化。
图13：双色六边形、正方形和三角形(3.4.6.4密铺)
6.拱形拼块
图14显示了一种被称为拱形拼块的进一步设计的衍生，在这种设计中，六角形拼块交错角落的两个弧形被“咬合在一起”，形成一个连接的拱门。生成的拼块(右)类似于均匀双色的特鲁谢拼块，因为拼块的角落具有交替的颜色，即使内部拓扑不同。
图14：拱形拼块的衍生
与方形双色调特鲁谢拼块不同，拱形拼块需要两个不同的图案，每个图案旋转两次才能成功拼块，而拱形拼块只需要三个旋转的单一图案(图15)。一旦决定了初始的奇偶性，那么三个旋转中的任何一个都可以放置在任何位置，从而形成有趣的几何形状，这些几何形状让人联想到岩画，甚至是来自外星语言的字形。与单独使用圆弧段相比，直线段和圆弧段的组合允许更多的形状。这些特性使得拱形拼块非常适合大型马赛克等艺术应用，在这种应用中，需要最小的视觉纹理。
图15：拱形拼块和拱形拼块的三次旋转。
图16显示了更精细的拱形拼块，为了清晰起见，去除了拼块边框。在这样的随机密铺中寻找熟悉的形状(很像在云中寻找形状)或者试图用拼块重建已知的形状作为一种类似七巧板的创造性难题，这可能是一个有趣的练习。根据一个名为Palagonia [4]的概念，已经收集了许多拟人化和动物化的拱形拼块形状，如图17所示。
图16：去掉拼块边框的拱形拼块。
图17：拱形拼块艺术品，鱼、猴和帕拉戈尼亚。
拱形拼块设计最初是由作者在2007年为桌面游戏Mambo[3]发明的，并在2008年为相关游戏Palago[4]修改了它的双色形式。《Palago》的规则很简单；两个玩家，光明和黑暗，轮流放置相邻的对拼块，努力形成一个封闭的组，其颜色包含至少一个拱门。例如，图18显示了一款《Palago》的游戏，黑暗先行(左图)，光明做出糟糕的应着(中图)，黑暗走出了一个获胜的分支(用虚线表示)。
图18：Palago的一盘棋。
每块牌的每种颜色都有强区和弱区，这对每一步棋都有有趣的组合意义。通过观察其与棋盘游戏Tantrix[13]中的一个六边形牌的巧合相似性，进一步强调了该牌的游戏相关根源。
参考文献
[1] E. Berlekamp, J. Conway, and R. Guy, Winning Ways for Your Mathematical Plays, Vol. 2: Games in Particular, Academic Press, London, 1982.
[2] R. Bosch, Edge-constrained tile mosaics, Bridges Donostia. (2007), pp. 351–360.
[3] C. Browne, Mambo. Available at: http://www. cameronius.com/games/mambo/.
[4] C. Browne, Palago. Available at: http://www. cameronius.com/games/palago/.
[5] D. Gale, J. Propp, S. Sutherland, and S. Troubetzkoy, Further travels with my ant, Math. Intel. 17 (1995), pp. 48–56.
[6] E. Gombrich, The Sense of Order, Cornell University Press, Ithaca, NY, 1979.
[7] P. Lagae and P. Dutre, An alternative for Wang tiles: colored edges versus colored corners, ACM Trans. Graph. 25(4) (2006), pp. 1442–1459.
[8] B. Nicholson, Kufi blocks. Available at: http://www. iit.edu/kufiblck/.
[9] C. Pickover, Picturing Randomness with Truchet Tiles. Computers, Pattern, Chaos, and Beauty: Graphics from an Unseen World, St Martin’s Press, New York, 1990, pp. 329–332.
[10] R. Sarhangi, Modularity in medieval Persian mosaics: Textual, empirical, analytical, and theoretical considerations. Available at: http://www.mi.sanu.ac.yu/vismath/sarhangi/.
[11] C. Smith and P. Boucher, The tiling patterns of Sebastian Truchet and the topology of structural hierarchy, Leonardo 20(4) (1987), pp. 373–385.
[12] D. Smith, Welcome to the world of Trax. Available at: http://www.traxgame.com/about.php.
[13] Tantrix Games International, Tantrix. Available at: http://www.tantrix.com/.
[14] Cameron Browne, Duotone Truchet-like tilings
青山不改，绿水长流，在下告退。
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