数术控制的生物世界
偶尔观察一下植物王国，你就会清楚看到生命的第二个秘密，比在其他任何地方都来得明显——到处都可以找得到数学模式：在对称排列的花辨里，
在沿着茎秆上下叠置的叶子里，
在某些植物的圆形种子和某些植物的尖形种子里，
以及在其他一些随风飘散的种子的小小降落伞状物里。
就连在树木不规则的几何外形里，也隐藏着令人难以捉摸的模式，
这模式是一种自我参照的几何原理，而在这样的几何架构下，树木的些许小部分会与整体形貌有着不可思议的相似之处——正因为非常相似，所以建构模型的人可以用树枝代表缩小的树木。植物世界已经向物理学借用了这样的结构，甚至现在仍然以近乎原来的形式使用这些结构。
不过，植物的其他特征则因演化而与原始物理学愈离愈远。植物的数学原理(如果有的话)，一直隐藏在演化的层层修补中。有某些花朵会模仿雌蝇，是为了骗雄蝇前来做亲密的接触，以便传播花粉；这种植物与昆虫交互作用的演化，时间已经长达数亿年之久。
在了解那些塑造植物的力量的同时，一定也要区别出哪些是演化形成的，哪些是免费提供的，一定要解开数学的一般限制与有弹性的遗传指令之间的纠结。
科学家在很早以前就知道植物具有数学性。
汤普生清楚地看到植物世界里的奇特数术，为植物生长的生物学带来重要的影响。
多亏有当代动力学的研究成果，我们现在才对这种生物学所涉及的知识，有了相当清楚的概念。汤普生观察到，植物王国对某些数字及螺线几何结构有奇特的偏好，
而这些数字又与几何结构极有关联；他的这项观察，遵循了一个建构完整的传统，这个传统根据他推测，可追溯至达文西的时代，甚至更可远推至古埃及。
我们已经注意到，植物(如花瓣、萼片及其他各种外貌)里出现的数目，常取自费布纳西数列：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89……，在这个数列中，每一个数都是其前两个数的和。如有例外，多半会是下列两种情形当中的一种：一、这些数成对出现，这种把戏可能是由植物染色体的某些独特性变出来的，但仍然属于费布纳西模式；二、所谓的“异常数列”1，3，4，7，11，18，29，这个数列也是按照与费布纳西数列相同的加法模式，只不过开始的数字不同。 针对植物的几何与数目模式所做的研究称为“叶序”，这类研究的历史和文献可列出一大串。在18世纪中叶，就有两位科学家研究过冷杉球果里的螺线，这两位数学家分别是庞内及卡兰德利尼。
后来约在1837年，晶体学先驱布拉菲兄弟对叶序理论做出了很大的贡献，他们在生长中的植物身上发现了最显著的单一规则性，也就是植物几何学中普遍存在的一种特别角度，这部分我们在后面会谈到。
1872年，沉迷于数学奇特事物的苏格兰数学家泰特，利用晶格的几何结构，证明出每当某个螺线系统一出现，我们一定也会看到其他相关的螺线。这就是为什么我们会在相邻的种子中看到两组螺线，而这两个螺线，都与相邻的费布纳西数有关，也都与模式的真正来源有非常大的差别。但上述这些人的研究仅只是叙述罢了——只是整理出排列的几何结构，但没有解释这些数目与植物的生长究竟有何关联。
费布纳西数术之谜
为了解释植物的费布，纳西数术，人们已经花了300多年努力寻找答案。终于。这个目标好像已经达成了；1992年，库德与铎狄这两位法国数学家，将费布纳西数术追溯到植物发展所碰到的自然动力学限制条件，总算对这个几世纪以来的研究做了总结。
库德与铎狄的研究成果证明了植物里明显的数学模式，的确来自物理世界通用的定律，这些模式不只是演化所强化的遗传偶发事故。然而就像其他所有的事物一样，物理定律必须与植物的基因密切合作，如果没有基因，当初就不会生长出任何植物了。
费布纳西的兔子谜题隐含了更进一步的讯息。重要的不只是数字；这些数字产生的方式也关系重大。分支结构拥有令人惊叹的数学理论，而费布纳西数是看得见的一点端倪。用上述同样的结构不仅能说明植物的数术，还可以阐释植物的整个形态——也包括植物分枝的方式。如今我们可以运用数学规则，来“种”出逼真的草、花、灌木丛和树木，而那些规则很有可能就是说明植物如何自我生长的精髓所在。
我们先来谈数术。要了解费布纳西数出现在植物中的状况，最好的方法其实不是把重心放在这些数的四则运算上。就某种意义而言，这些数的相加模式是一种巧合，是费布纳西数术的数学结果，但不是其重要依据。探讨这个问题最好的方法，就是来看看植物几何学。
要看植物中的模式，最好的起点之一就是从汤普生的这个例子开始看起：向日葵的排列方式。在此我们会看到相当惊人的数学模式。
向日葵的花呈现出两组螺线，一组是顺时针旋转，另一组则是逆时针，两者好像可以互相套合。在这个例子中，有34条像车轮辐条但呈弯曲状的顺时针螺线，并有55条逆时针方向的螺线，这两个数目并不相同，但都是费布纳西数——而且在数列中的位置是相邻的。确实的数目要视向日葵的种类而定，不过我们通常看到的是“34及55”一组，或“55及89”一组，甚至有的是“89及144”一组。
雏菊
也有类似的模式，但是比较小。菠萝有8排向左倾斜的鳞片(也就是那些呈菱形的小片)，另有13排向右倾斜。挪威云杉的球果有5排鳞片向一个方向，另有3排向另一个方向；而一般常见的落叶松(另一种针叶树)的数目为8及5；美国落叶松是5及3。
如果遗传学可以让花朵自己挑选喜欢的花瓣数目，或者松树球果可以挑选想要的鳞片数目，那为什么费布纳西数会占上风?看起来这些数目很有可能是来自某种更深层的数学机制(譬如植物发育所受到的动力学限制条件)，而现存的证据支持了这个观点。
植物的存在是以种子和一枝嫩芽来作为开始，种子发芽后，很多细根会长出来，并且向地底下生长，而嫩芽则是迎向阳光，向上生长。
成熟植物的所有奇特数术，原本都已经存在了，虽然在那些早期的嫩芽里是肉眼看不到的；它是在植物刚冒出新芽、新细胞即将出现时，由许多动力学条件创造出来的。当新细胞想尽办法各就各位时，就已经排列好要形成费布纳西螺线了。
如果用显微镜观察新芽的顶端，你可以看到所有主要外貌发展过程的一点一滴——包括叶子、花瓣、萼片、小花等等。在新芽顶端的中心，有一个圆形区域的组织称为“顶尖”；而在顶尖的周围，则有微小隆起物一个接一个地形成，这些隆起一般被称为“原基”。
每一个原基自顶尖移开(更精确的说应该是：顶尖从隆起处向外生长，而把隆起留在原地)，最后，这些隆起会长成叶子、萼片之类的东西。还有，那些外貌的一般排列，是在原基开始形成时就安置好了的，所以问题的症结，是在解释为什么你在原基中看到螺，线的形状及费布纳西数，因为植物各式各样的费布纳西特征，全都是这种基本几何结构的简单结果。
第一步是要体认，虽然螺线能够明显到让人一眼看出(植物学家称之为“斜列线”)，但那并不是植物顶端实际生长模式的直接表征；就某种程度而言，这些螺线只是错觉。
最重要的螺线，是依照原基出现的次序来考虑而形成的。由于较早产生的原基移开得较远，所以你可以从它与顶尖之间的距离，来推断出现的先后次序。结果发现，原基与原基隔得相当开，并排成一条卷绕得非常紧的螺线——称为“生成螺线”。人的眼睛之所以能分辨出斜列线(费布纳西螺线)，是因为斜列线是由相邻的原基所形成，但生成螺线才是建立数学模式的真正功臣。
从生成螺线到黄金角
布拉菲兄弟的伟大贡献，在于发现原基沿生成螺线呈间隔排列的基础数学规则。他们测量相邻两原基之间的角度，首先发现量得的各个角度非常相近；而这些角的共同值就称为“发散角”。
他们的第二个发现，彻底说明了发散角的性质：发散角往往非常接近137.5°。
布拉菲兄弟发现黄金角是自然界偏好的数值，但是他们并没有找出为什么。毫无疑问的，黄金角是自然界所使用的奇特数字，因此这其中一定有很好的理由。
1907年，数学家易特生首度解释了为什么黄金角合乎物理原理。他在一条137.5°的紧密绕行的螺线，先标示出相邻各点，然后研究这些点的排列方式。他证明了我们会因为相邻两点的排列方式，而得到两组交错的螺线：一组是顺时针旋转，另一组是逆时针。又因为费布纳西数与黄金数密切相关，所以两组螺线的数目是相邻的费布纳西数。究竟是哪些费布纳西数，则要看螺线的旋转有多紧密。
易特生的理论也是纯叙述性的：只显示出排列几何的主要模式，并没有解释这些模式的物理或生物成因。
演化并不会因为某个外貌是不错的点子，就选择这个外貌来作为进行的对象；一定有某种合理的演化进行方式。有效堆排就是一种适当的解释，这方式显然有助于产生强壮而坚实的植物。不过，虽然希望能做到有效堆排，但这种心愿并不能保证一定会存在一种使有效堆排发生的机制。
很幸运的，铎狄和库德所发现的正好是这种机制。他们所得到的黄金角，正是动力学的一项明显结果，而不是直接把黄金角假设成有效堆排的根据。
他们的第一步，是假设有某种连续出现的元素，在相等的时间间隔下，在一小圆圈的边缘某处形成；并假设这些元素接着就直接向外移动。此外他们还假设每一元素会互相排拒，就像相同的电荷或极性相同的磁极。这种排斥力能使这些元素一直向外移，而每一新元素出现时，会尽可能远离它的前者。换句话说，每个新的原基会在最大的间隔处进出来。
这种系统相信可以满足伏格的有效堆排的准则，因此，预期的黄金角就会自动出现——事实上也是如此，就像铎狄和库德利用物理的模拟所证明的：将盛装硅酮油的圆盘放进垂直磁场中。
他们使微小的磁性流体，在一定的时间间隔下滴落在圆盘中心。油滴被磁场极化，然后就会相斥；当他们使圆盘边缘的磁场大于圆盘中间的磁场之后，油滴在径向就会受到一股推力。显现出来的模式与两油滴之间的间隔大小有关，但是很普遍的一种模式是：连续的油滴会落在螺线上，且发散角很接近137.5°(即黄金角)，就如向日葵的交错螺线模式。他们也进行了许多计算机计算，得到很类似的结果。 不过，也有发散角不接近137.5°的分歧。这并不是铎狄一库德学说的缺陷，而是长处。
模式是必然的结果
当然，没有人认为植物学像这个模型一样，具有完美的数学性。特别是，很多植物的原基出现的速率有可能加速或减慢，而形态及结构上的改变(比方说某个已知的原基是长成叶子还是花瓣)，往往会伴随这类变异而来。植物基因所扮演的角色，有可能影响原基进发出来的时间吗?基因当然不需要告诉原基如何把自 己间隔开来——这是由动力学来操纵的。
植物的生长是一种结合了物理学与遗传学的合作结果，所以两者都需要，你才能了解植物的生长情形。把这些谜团拼图的最后一块摆上去之后，植物的惊人数学模式就揭晓了，你会发现这个模式是植物生长动力学的必然结果，因此受到严格数学定律的规范。
如果在一个存活着截然不同生命(其遗传原理不是根据DNA)的遥远世界里，也出现了像植物这样的生命体，也以我们常见的同样方式生长，那么那些生命体也会呈现出费布纳西数术。费布纳西数不是意外发生的事件；这些数是普适的几何原理的结果，是植物结构的晶体学。事实上，植物没有办法避开费布纳西数，就像食盐晶体不能不是立方体。
