作者 | 萧文强
来源 | 节选自《心中有数：萧文强谈数学的传承》，大连理工大学出版社，2010年，“好玩的数学”获作者和出版社授权转载，在此感谢！
注：这篇文章原来是在罗富国教育学院的讲演，文章刊于《抖擞》双月刊第53期，1983年7月，67-72页。虽然文章讨论数学史和数学教育，它也孕育了“学养教师”的意念，但要等到1993年才把这个意念以文字表达出来。
一、引言
本文题目出现的三项事物，都包含“数学”这个词，它们之间显然有极密切的关系。但似乎在很多人的心目中，这三项事物却没有什么关联。为什么我会这样说呢？让我先解释一下。这里的“数学”指对数学的探讨，包括学习数学知识、了解数学新动态、讨论数学问题、以至进行数学研究；“数学史”指对数学发展的认识和学习；“数学教师”自然指课堂上的数学教学了。有些人自己对数学兴趣极浓，研究干得出色，但对教学却不热心，视做例行公事；对数学史更持轻蔑态度，认为它与研究无干，只是供数学功力不足的人拿来摆弄的玩意吧。有些人对教学负责，把自己要教的材料准备充足，课堂上应付裕如，但对提高自己的数学修养却不重视，认为既然自己只是教学而不是搞研究，何须提高；对数学史也不重视，认为那是“花絮”而不是“正道”的数学，在教学上不能派用场的。所以，对一部分人来说，“数学”、“数学史”、“数学教师”可没有什么关联。
一篇文章不能面面兼顾(本文原是在罗富国教育学院讲演的稿)，为了避免引起误解，让我首先声明将不谈什么，但那不表示我认为那些不重要。我将不谈教学技巧，我只想提出一点：教师须要注意教学技巧，教学技巧是可以训练的，所以教师需要自觉地训练教学技巧，而且你一天任教师，你就得一天注意这回事。师范训练提供这方面的基本知识，大大地减轻了独自摸索的苦况，但日后在课堂上的体会也是很重要。我也认为，教学不单是技巧，更是艺术。要做一位好教师，除教学技巧外，还得注意两方面，一是个人修养，二是本科学识。前者层次较高，我也不谈了，只想引一段美国数学家 Edwin Moise的话：“教学这项活动，涉及一种意义十分不明确的人际关系。教师本人是一位表演者、讲解员、监工、领头人、裁判员、导师、权威人物、对话者和朋友。所有这些角色都不易担当，其中有不少还是互不协调的。因此，要成为一位老练成熟的教师，个人品格的细致成长是不可或缺的。”至于本科学识，大抵没有人怀疑其重要，我觉得奇怪的只是一点：没有人相信只修毕小学数学课程便可以教小学数学，也没有人相信只修毕大学数学课程便可以教大学数学。但为什么很多人却相信只修毕中学数学课程便可以教中学数学呢？我提出这疑问，并非提议所有中学数学教师必须修毕大学数学课程。反之，那未必是合适的做法。但显然师范训练中不能忽视本科的进修，而且那不能仅仅是把该科的大学课程“平移”过来就算了，更需要有的而发的选材。这是个重要的问题，必须集思广益，全面探讨，我也不敢谈了。著名数学家教育家 George Polya在一篇文章里复述一位数学教师的妙语：“数学系给我们又厚又韧的牛排，嚼它不动；教育学院给我们淡而无味的清汤，里面一丁点肉也没有。”数学教师需要的是味道鲜美、营养丰富的浓郁肉汤！
我想在下文提出来跟大家讨论的，中心思想大概是这样子：我们已经肯定了教师学识的重要，但学识指什么？我以为那应包括三方面，即是“才”、“学”和“识”，三者互有关联，也互有区别，但相辅相成（多年前我读了王梓坤教授的书《科学发现纵横谈》（1978），深受启发，尤其是“才”、“学”、“识”三者相辅相成，形成了这篇讲演文稿的中心思想。）。清代文学家袁枚说过：“学如弓弩，才如箭，识以领之，方能中鹄。”我们先讨论“才”、“学”、“识”的关系，然后以此为着眼点，看看“数学”、“数学史”、“数学教师”之间的密切关系。
二、数学的“才”、“学”、“识”
数学在一般人的心目中占什么地位呢？大家都不会否认数学在科学研究、技术发展、社会科学、企业管理上的贡献，矛盾却在于大家往往只见到这些成就而忘却了数学本身，难怪有人称数学为“那看不见的文化”！而且大多数人或者不了解数学是什么的一回事，或者只捕捉了片面零碎印象便以偏概全。受过普通教育的人，即使不是艺术家也知道有雕刻、绘画、……；即使不是音乐家也知道有歌曲、旋律、···…；即使不是文学家也知道有诗、小说、……；即使不是科学家也知道有核能、蛋白质、微生物、行星、……。但有多少人知道什么是函数、公理系统、可换群、流形、……？再者，不少人虽然不高兴别人指出他对艺术、音乐、文学、科学一无所知，却不介意别人说他对数学一窍不通，甚至认为不懂数学乃理所当然，说时纵非形于色亦必心安理得！你试向一位朋友说：“怎么你的英文这么差？”对方面红耳热地苦笑承认，而你大有可能从此少了一位朋友！但换了是说：“怎么你的数学这么差？”对方面呈得色地呵呵笑，边笑边说：“是呀，在学校里我一向最怕数学的，硬是弄它不通。”
为什么会这样子？我认为这是我们这群数学教师的“群耻”，“群耻”一天不除，我们的工作一天没有做好。导致这现象的原因可能有好几个，我只提我想到的一个吧。数学有它悠久的历史，当近代物理、化学、生物犹处于发展的初期，数学已经背上了两千多年的辉煌成就，但中小学的数学课程却差不多只学到在这之前的数学！即使在大学里，当其他学科正从19世纪以后的发展推向20世纪的新发现，大部分学生的数学知识却终结于19世纪初期！于是，数学渐渐形成它特有的一套语言，使非数学工作者感到难于亲近。同时，数学是一门累积的知识，它的过去将永远融会于它的现在以至未来当中，加上它的确具有抽象思维的本质，要真正了解它掌握它需要付出一定的时间和努力，并非所有人愿意付出这样的时间和努力(也没有需要所有人成为数学家)。由此衍生一个教学上的现象，就是侧重了数学的技术性内容，把它作为一门工具学科来讲授。这样做，教师可以在规定的时间内传授一定分量的知识，也可以利用表面看来是清晰利落的手法迅速地教懂学生这套特别的语言。然而，这样做也掩盖了数学作为一门文化活动的面目，难怪很多认为自己将来无须使用数学的人觉得数学与己无干，也乐于表示自己跟枯燥的公式和刻板的计算打不上交道了。这使我想起刘徽《九章算术注》原序里的一段话：“虽曰九数其能穷纤入微，探测无方。至于以法相传，亦犹规矩度量，可得而共，非特难为也。当今好之者寡，故世虽多通才达学，而未必能综于此耳。”
所以，一个平衡健全的数学课程应该兼顾几方面，粗略地可分为三点：(1)思维训练；(2)实用知识；(3)文化修养。打开任何一份数学课程纲要，都可以在“教学目的”这一项底下找到这三点。当然，表达方式各有不同，所用字眼亦各有异，但基本精神是一样的。如果我们不拘小节，但求捕捉个中精神，一个更抽象更笼统的说法便是在上一节结尾时提到的“才”、“学”、“识”。(1)相应于“才”；(2)相应于“学”；(3)相应于“识”。
“才”指才能，于数学而言，就是计算、推理、分析、综合的能力，也是洞察力、直观思维能力、独立创作力。“学”指与专业有关的知识，都从前人继承而来，例如勾股定理、二次方程解公式、极限理论、积分计算，等等。“识”指对知识分析辨别、融会贯通、梳理出自己的观点和见解这种能力。才而不学，是谓小慧；有学无识，只是“活动书橱”；不学则难以有识，即使有亦流于根底肤浅。所以，三者相辅相成。我们希望自己做到的，更希望我们的学生做到的，就是三者兼之。
三者之中，“才”是最不好讨论，因为虽然计算、推理、分析、综合的能力还算可以训练外(但也不易，而且结果难于测量)，其余像洞察力、直观思维能力、独立创作力是可培养而非可训练的。不过，我愿意介绍一些适合中学数学教师阅读的参考材料：
G.Polya, How to Solve it, 2nd Edition, Princeton University Press,1957;
G. Polya, On Learning, Teaching, and Learning Teaching, Amer. Math.Monthly, 1963 (70):605-619;
D. Solow, How to Readand Do Proofs,Wiley,1981;
U. Leron, Structuring Mathematical Proofs, Amer. Math. Monthly,1983 (90):174-185。
我曾经在两次给中学生的讲演上强调人类思维能力的可贵，奉劝各位同学不要只满足于现成的解法，不要满足于一定的程序而不加深究、不愿自己动手干动脑想，以致变得思考迟钝、思路含糊。在这里，我想再强调这一点，“才”是需要磨炼的。
其次，“学”的讨论一定与教学法有关，我已经说过不谈的。但“学”联系着“识”却是下面要讨论的重点。为方便起见，不如合起来称为“学识”。数学的“学识”可作纵横看，纵方面就是追溯数学概念和理论的来龙去脉，横方面就是探讨数学的本质和意义。你或者问：“这么大的题目，跟我的日常教学有关系吗？数学的本质和意义是哲学上的问题，我只想教数学吧，管它什么哲学观点？我只想教懂学生现代数学吧，溯本寻源有何用哉？”
我不否认数学的本质和意义是哲学上的问题，而且每人对这个问题有每人不同的见解和体会，我也不是要有一个人人一致的铁定答案。但我不同意为了上述原因我们便回避这个问题，我也不相信它对数学教师的工作没有影响，让我举一个例子说明忽视这问题可能带来的影响。各位对所谓“新数”、“旧数”之争必已耳熟能详(请参看以下一份很有分量的文章：梁鉴添，评论近二十年来中学数学课程改革，《抖擞》双月刊第38期，1980年5月，64-75页)。
很多时候我们听到类似这样的一些批评，它说“新数”的教材不适合中小学生程度，因为中小学生的认知能力尚未发展到可以接受如此形式化处理的阶段。虽然这是实情，但如果仅仅是这样，反对便显得乏力了，因为那就像说：“真正做数学的人是这样做的，可惜你们未达到那个程度，暂时只好改用你们可以接受的材料。”那岂非以“次货”代“真货”吗？而且，言下之意还有“对牛弹琴”之叹！不是的，我认为数学家根本不是那样做数学，所以“新数”的设想从根本即站不住脚。形成“新数”这种气候和局面，是很多人(包括设计课程的人、编写教材的人、教这些课程的人)对数学的本质和意义的信念的一种反映，这种信念是出于对“形式主义”的偏爱和误解。德国大数学家 David Hilbert 本世纪初提出“形式主义”，视数学为没有意义的符号进行没有意义的纸上游戏，那纯粹是为了企图解决数学基础上的相容性难题。这个类似“釜底抽薪”的做法，是为了这个特定目标特意精心设计出来的，却不是说数学就是那样子的活动。Hilbert本人的话，是最好的批注：“在我们的形式主义游戏中出现的公理和可证明的定理，乃是形成通常数学对象的那些概念的映象。”在他著名的《几何基础》卷首，他引用了18世纪德国哲学家 Immanuel Kant的话作题词：“人类的一切知识，皆始于直观，再发展为观念，终于形成理念。”看看数学发展经过，当能更好明白这一点。我不打算作进一步的讨论，但谁能再说数学本质的认识对数学教学没有影响呢？
至于数学概念和理论的来龙去脉，是否陈年旧迹？我看不是，因为认识它的来龙去脉，有助于加深个人对数学的了解。通过历史材料，我们也可以了解一个数学分支何时兴旺、何时停滞、何时衰退，从中吸取成败经验，知道数学发展的规律，培养个人对数学的鉴识力，这些对教学是有帮助的。让我根据个人经验举一个例子，今年我开了一门“代数数论”，即是讨论有理数域的有限扩张，但我从数论的历史谈起，以 Fermat's Last Theorem 为动机(那即是说n大于2时，没有非平凡整数解，该问题已于1993年6月由英国旅美数学家A.Wiles宣称解决，后来他和 R.Taylor 协作，在1995年发表文章，解了这个长达360多年的悬案)，引出以后的概念和定理，使学生明白那些抽象的理论扎根于实际问题。这样做不只使课程较富趣味，更重要的是使它较富启发。让我再举一个例子，就是很多学生视做畏途的手法。一般书本上的定义使一些初学者看得头昏脑涨，于是囫囵吞枣，终致消化不良！但如果我们试图了解一下这种手法是怎样演变来的，便发觉就连这个符号也颇有点意思，它代表法文的“erreur”，是误差的意思。18世纪的数学家(如Joseph Louis Lagrange)擅长以逼近法求近似值，譬如求f(x)=0的根，他们自然要估计误差，譬如说，经过若干次逼近后所得的近似值与真值相差多少？同样的手法，到了19世纪的数学家手中(如 Augustin- Louis Cauchy)，却变成极限理论。他们反过来问，要逼近多少次才保证误差不超过若干呢？这想法是近代数学分析严谨化的起步，也是手法的基本思想。从这个角度看，手法只是具体的误差估计吧，不是那么高不可攀的。
从以上纵横两方面看，数学史明显地能帮助我们增长学识。不只这样，历史还留给我们丰富的材料。如果我们从中吸取营养，并和以今天的知识，以“事后诸葛亮”的眼光把古今结合起来，还可以在课堂上发挥具体的作用呢。两年前我给了一个讲演，便是专讨论这件工作，故不再重复，有兴趣的朋友可参看以下两篇文章：
萧文强，数学教学上如何古为今用，《抖擞》双月刊第44期，1981年5月，70-73页。
萧文强，活用数学史，《数学教学季刊》第2期，1981年，6-9页。
三、实际的做法
以上我说明了数学上“才”、“学”、“识”的重要，也举例说明了数学史对数学教师的用途。如果你接受上面的论点，剩下来应该讨论的便是如何在师范训练中增强对数学史的认识。容许我做一些建议，可行与否或应行与否，留待读者争辩讨论吧。
我不认为单单开设一门数学史课程可以达致上述目的，正如我不认为在中小学独立地讲授数学史是合适的做法。我心目中的数学史，跟数学史家心目中的数学史有些不同，也跟一些人心目中的数学史不同。我心目中的数学史，并非单指数学个别课题之编年史，也并非单指数学家的生平逸事，而是既指数学知识的演变，也指创造这种知识的人、产生这些人和这种知识的客观条件、还有这种知识的社会作用。我们要追求的是一种“历史感”，这种“历史感”不能单从一连串名字、一系列大事年表、一帧帧肖像、或者一页页小故事中得到。历史是在长时间中由事件累积而成，“历史感”也是在长时间中因学习历史而由淡至浓，以至浓得与本科混为一体而不可分。Johann Wolfgang von Gothe曾经说过：“一门科学的历史就是那门科学本身。”我的信念就是：数学史就是数学本身。所以，最理想的做法，是把师范训练中的整体数学课程有机地围绕着数学史建立起来。至少，让数学史的精神渗透到课程里去。我可以提议几本适合教育学院的课本：
L.N. H.Bunt, P.S.Jones &. J.D. Bedient, The His- torical Roots of Elementary Mathematics, PrenticeHall，1976;
H. Eves, An Introduction to the History of Mathe-matics,4th Edition, Holt-Rinehart &.Winston,1976;
E. Sondheimer &. A.Rogerson, Numbers and Infini- ty - A Historical Account of Mathematical Concepts, Cambridge University Press,1981；
H. Eves &. C. V. Newsom, An Introduction to the Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics, Holt, Rinehart &. Winston,1965；
M.Kline, Mathematics in Western Culture,OxfordUniversity Press,1953；
李俨、杜石然，《中国古代数学简史》港版，商务印书馆，1976年。
我也可以提出一些供数学教师参考的“材料的材料”：
Mathematics Appreciation Courses: The Report of a CUPM Panel (Bibliography &. Reference List), Amer. Math. Monthly,1983(90):C11-C20;
L. Leake, What Every Mathematics Teacher ought to Read (Seventeen Opinions), Math. Teacher, 1972(65):637-641；
L. Leake,What Every Secondary School Mathematics Teacher Should Read - Twenty-four Opinions, Math.Teacher，1983(76):128-133。
合起来它们列出了三百种以上的(英文)书籍文章，使人目不暇接。当然，还有很多材料没给包括在内，其中一本不在上述名单却十分值得教师阅读的书就是：
M. Kline. Why Johnny can’t Add, VintageBooks,1973。
至于合适的中文参考材料也有不少，我个人最熟悉的自然是下面两种：
萧文强.《为什么要学习数学？——数学发展史给我们的启发》，学生时代出版社，1978年；
《抖擞文选：数学教学论丛》，商务印书馆，1981年。
我们不可能在这里详细讨论课程内容，但举一个例子或者可以把我的设想表达得较为清楚。几何向来是课程设计上的“疙痞”，不论“新数”、“旧数”都未曾很好地解决这个问题。在1960年代(或之前)念中学的朋友，一定还记得当时的综合几何是多么困难的一部分，起初几课却又似是多么无聊做作，先来一大堆说了等于没说的定义(如直线是有长度没有广度的东西)，再证明一些看来明显不过的定理(如两直线相交，对顶角相等)。学生正困惑于什么需证明、什么不需证明之际，形势却急转直下，接踵而来的是大批使人不知从何入手的习题，尤其作图问题与轨迹问题，往往连班上“高手”也给难倒了！1960年代后期“新数”入侵课堂后，处理几何的方法走向两个极端，一是加入更多公理使它更严谨化，一是完全抛却证明而单从直观角度学习几何知识。甚至有人认为综合几何根本不应在中学课程占一席位，不如以解析几何代替了它。我不知道1980年代中学几何是什么样子，但从我的学生的反映，它一定不再是20多年前我学的那样了。曾经有位学生告诉我：“看了古希腊数学后，我才知道反证法对几何也有用，以前在中学我只在代数用它。”另一次我拟了一道测验题，问能否用一条不经切割的铁线曲成一个正八面体的骨架，用意原在考察学生对图论的认识，谁料全班45人中只有七八个答对，其余的学生人人皆知运用什么定理，可惜他们弄不清八面体是什么样子。有人以为那是正八边形，也有人以为那是正八边形为底的角锥！我不是要“复古”，但我觉得综合几何在教育上仍有其优点，若经适当编排，它是训练抽象思维和逻辑思维、培养空间想像力的好工具，而且不少爱好数学的朋友一定还记得当年如何对综合几何“一见钟情”！不过，要领略综合几何之美，单是“学”恐怕不足，犹需有“识”。特别是教师本人应该知道一点几何的历史，才晓得怎样布置教材。适合中学的综合几何材料，差不多全部在公元前3世纪希腊数学家 Euclid 的 Elements前六卷找得到。明代徐光启与意大利传教士利玛窦合译Elements亦只译了前六卷(称为《几何原本》》，使后世不少人误以为Elements就是几何课本。事实上，Elements十三卷包罗不少题材，不单是几何知识，而其编排处理的手法，更奠下后世数学公理化的基石，开了数学演绎精神的先河。这本书对后世的数学发展影响至大，也是人类思想史上的一个里程碑，难怪徐光启评曰：“由显入微，从疑得信。盖不用为用，众用所基。真可谓万象之形圄，百家之学海。”关于这本书的性质及编写目的，众说纷纭，近年来更出现一些新的观点和论证，使“定案”变“悬案”，这本珍贵文献更值得研究了。虽然我们不是要做数学史家，但这样重要的一本著述显然是应该认识的。通过对这本书的学习，突出重点(卷一不妨细读)，回顾古希腊数学的发展，探讨欧氏几何与非欧几何的演变，对于增进我们的几何“学识”是十分有帮助的。
我们在香港大学数学系里开设了一门叫做“数学发展史”的课，课程的宗旨可分为两点：(1)除了使学生明白个别选讲课题的发展经过以外，更希望通过这些课题的阐述使学生对数学有个整体认识，把它看成是人类文化的一部分，是人类集体智慧的累积结晶，是一门生机蓬勃的学科。(2)通过专题探讨，培养学生的独立探讨能力、书写和口述的表达能力。有关这门课的详细情形，可参看以下的文章：
梁鉴添、萧文强.一门与数学发展史有关的课程，《抖撒》双月刊第41期，1980年11月，38-44页。
四、结 语
让我重复一遍，数学教学的目标是(1)思维训练；(2)实用知识；(3)文化修养，三者应有适当的平衡。要同时达到这三点，一定有客观条件上的困难，但作为数学教师，我们必须肩负这项责任。经常接触数学，可保持本身的活力和热情。想想我们学科的历史、本质和意义，或者是一种激励和鼓舞。近代著名数学家 Hermann Weyl 说过：“我们并非宣称数学应该享有科学之皇后的特权，有其他科目与数学有同等甚至更高的教育价值。但数学立下所有心智活动所追求的客观真理标准，科学和技术是它的实用价值的见证。如同语言及音乐，数学也是人类思维的自由创作力之主要表现形式，同时它又是通过建立理论来认识客观世界的一般工具。所以数学必须继续成为我们要教授给下一代的知识和技能中的基本成分，也是我们要留传给下一代的文化中的基本成分。”这就是我们的事业。
