西游归来的数学014——猜牌游戏的秘密
第14回
猜牌游戏，孙悟空独占鳌头
揭秘玄机，唐玄奘技高一筹
话说孙悟空一招奇思妙想让唐僧师徒四人都被映月湖公司聘用了，他本人提升为质检高级顾问，其他三人暂时被聘为临时打杂工，不知不觉迎来了公司成立100周年喜庆的日子.
为了更隆重庆祝公司成立100周年，公司特意举办了一场喜庆晚会，让公司全体员工自编自演各种各类节目.
晚会上，公司员工们热情洋溢表演了许许多多令人喜闻乐见的节目，有歌舞杂技，相声小品，其中最引人注目的是作为压轴好戏人人参与的“猜牌游戏”节目.
游戏开始，负责主持的是公司的大美女张秘书，节目的全称叫做——秘书发牌大家猜.
张秘书在台上拿出一副扑克牌，微笑着面向台下观众，用甜美清脆的声音对大家说：“这是一副普通的扑克牌，共54张，没有特殊的记号.我先把它重新洗一洗，然后分成四堆，第一堆25张，这25张牌我会一张一张地把牌的正面给大家看清楚，大家要认真看，仔细看，把每张牌的花色和点数看得清清楚楚，然后记在心里.”
“其他三堆牌怎么分的呢？也是象第一堆牌那样分吗？”
“大家别急，其他三堆牌与第一堆分法不一样.我接下来慢慢告诉大家.”张秘书微笑着说，“第二堆牌的分发是这样的：我在余下的这29张牌中随便抽出一张，看一下它的点数（A算1点，J、Q、K分别算11点、12点、13点，如果抽出的牌是大小王，那就再换一张牌，直到这张牌有点数为止），这张牌是不能给你们看的，也不告诉你们它的点数是多少，只能是我一个人知道的，然后我把这张牌作为第二堆牌的底牌，正面朝下放在第二堆，接着从底牌的点数数起，一张一张地抽取，一张一张地数，直数到15为止.比如我抽出的这张牌是方块8，它的点数就是8，把它正面朝下放在第二堆牌最底下，称为第二堆的底牌，接下来从点数8后面的自然数开始数数：9，10，11，12，13，14，15，而且每数一个数，就抽出一张牌正面朝下依次叠放在第二堆牌上；第三堆牌的分发跟第二堆一样.比如我分第三堆牌时，第一张抽出的牌要是黑桃Q，把它作为底牌后，接下来就从点数12后面的自然数开始数数：13，14，15，也是每数一个数，就抽出一张牌叠上去，第四堆牌的分法与第二堆、第三堆的分法相同.最后把余下的牌叠放在第一堆牌的上面.大家都知道第二堆、第三队、第四堆牌怎么分的了吧？”
“知道了.”坐在台下第一排的八戒全神贯注听完后发问，“如果第四堆牌数不到15时手中的牌就没有了怎么办？”
“会出现这种情况吗？二师兄.”坐在旁边的沙僧问道.
“这是有可能的.”张秘书说，“比如第二堆的底牌是黑桃A，第三堆底牌是红心5，第四堆的底牌是草花7，那么分完第二堆需要用去15张牌，分完第三堆需要用去11张牌，此时手中只剩下3张牌，而第四堆需要9张牌，还缺少6张牌，这6张牌就从第一堆牌中取，这叫做补牌.”
“补牌怎么个补法？”
“从第一堆牌自上而下一张一张地拿，一张一张地放到第四堆牌上，补到数出‘15’为止.”张秘书说，“这就是四堆牌的分发规则，大家都明白了吗？”
“明白是明白了，但是……”八戒听得特别认真，他觉得张秘书好像还有什么没有说.
“但是什么你说.”
“你还没有告诉我们猜什么的呢？”
“哦对了，是这样滴.等我分完四堆牌后，会告诉大家第二、三、四堆底牌的点数之和n的大小，然后让你们猜第一堆牌自上而下第n张牌的点数和花色.”张秘书说，“这下全明白了没？”
“明白了，开始吧.”台下观众异口同声回答.
“好.大家开始注意我展现给大家看的第一堆这25张牌的点数和花色了.”张秘书拿起扑克牌，洗了几下后开始分发第一堆牌，她娴熟的双手一遍操作一遍说，“第一张牌是红桃6，大家看好后我把它的正面朝下扣在桌子上了；
第二张是黑桃3，都看清楚了吧？好，我把它的正面朝下叠在第一张牌的背面上；
第三张是梅花K，把它的正面朝下叠在第二张牌的背面上；
……第24张是方块J；
第25张是皇后黑桃Q，把它正面朝下叠在最上面.”
张秘书分好第一堆牌后指着手中剩下的29张牌对大家说：“接下来分第二、三、四堆牌就不让大家看了……”张秘书开始分牌，全场鸦雀无声，目不转睛地盯看着第一堆牌，一遍又一遍第回想着自下而上的每一张的花色与点数，并努力记住它们.
分完第一堆后，张秘书拉上了帷幕，大家再也看不到第二、三、四堆牌的分发过程了，不知道分完第四堆后牌有没有剩余或不足？是否有牌放到第一堆上或从第一堆拿去补牌？更不知道是几张了？
过了片刻，张秘书拉开帷幕对大家说：“现在四堆牌已全部分好，我只能告诉你们的是第二堆、第三堆和第四堆牌的底牌点数之和是23，现在请大家猜一猜在第一堆牌中，自上而下第23张是什么牌？第一个猜中者将获得公司丰厚的纪念品.但是，为了‘惩罚’那些瞎猜的人，如果猜错了就得表演一个节目.不然的话，把54张牌从头到尾猜一遍总能猜到的.”
猜牌开始，大家七嘴八舌，众“猜”纷纭.
“如果是自下而上的第23张牌我记得是方块8.”八戒对沙僧说，“但从上而下的第23张牌我就无能为力了.”
“就是嘛，也不知道原来的25张牌后来有没有增加或减少，实在是没办法猜.”沙僧接着说，“要是第一堆牌没有增加仍然是25张的话，那自上而下第23张牌就是自下而上的第3张牌，我记得是梅花K.”
“要是猜错了表演节目俺老猪可不敢上台去出丑啊.算了，还是别瞎猜了.”八戒自我安慰道.
在谁也不敢瞎猜之余，一直坐在台下默默无语的悟空站了起来，他慢条斯理地说：“假如我没有记错的话，这张牌应该是红桃7.”
张秘书拿起第一堆牌，自上而下一张一张地翻给大家看，到了第22张依然还没见到红桃7的牌，见证奇迹的时刻到了……
“啊，真的是红桃7！”
“这个人的运气真的是太好了，一猜即中.”
“这是哪方神圣？记忆力也忒好了吧！”
“人家是西天取经归来的，出国留学喝过洋墨水的，当然与众不同了。”
大家纷纷向孙悟空投去了羡慕的眼光.
第二轮游戏又开始了，张秘书仍然按照第一轮的规则分好54张牌后对大家说：“这一次的第二、三、四堆牌的底牌点数之和为19，请猜猜第一堆牌自上而下第19张牌是什么？”
“是梅花J.”悟空不假思索.
张秘书当场验证，果真是梅花J.
大家觉得十分奇怪，一千多只眼睛对看过一眼的那25张牌模糊不清，唯独只有孙悟空记得一清二楚？
“猴哥，你的记忆力怎么那么好啊？”
“这跟记忆力好差没有关系.”
“那你是如何猜出来的？”八戒穷追不舍.
悟空说：“这个游戏有一个秘密，要想揭开这个秘密，关键是第二、三、四堆牌的底牌点数要弄清楚.
假设第一堆牌的底牌点数是a，第二堆是b，第三堆是c，则
第二堆牌有(16-a)张，
第三堆有(16-b)张，
第四堆有(16-c)张，
这三堆牌共有48-(a b c)(张)，
设a b c=n，
则第二、三、四这三堆牌的总数是(48-n)张，这里的n是一个已知的数.
当48-n＜29时，
表明分好四堆牌后，牌还剩余29-(48-n)=(n-19)(张)，
把这些剩余的牌放在第一堆的上面后，第一堆牌变成了有
25 (n-19)=(6 n)(张)，
因此，在这堆牌自上而下依次拿掉(n-1)张牌后，此时上面的那张牌就是自上而下的第n张牌，
此时这堆牌还有(6 n)-(n-1)=7(张)，
而最上面这张牌就是自下而上的第7张牌；
当48-n=29时，n=19，
此时第一堆牌有6 n=25(张)，自上而下的第19张牌（相当于自上而下依次拿掉18张后剩下的第一张，此时还有7张牌）也恰好是自下而上的第7张牌；
当48-n＞29时，需要从第一堆牌里取出(48-n)-29=(19-n)(张)牌放到第四堆牌上，
此时第一堆牌剩下25-(19-n)=(6 n)张，其自上而下的第n张牌同样又恰好是自下而上的第7张牌.
因此，不论第二堆、第三堆和第四堆的底牌点数之和n等于多少，第一堆牌自上而下的第n张牌都是自下而上的第7张牌，
所以，不论第二、三、四堆牌的底牌点数之和是多少，对于看到的25张牌只要记住第7张牌的花色与点数就可以了.”
听完悟空的解释，大家对他的超群智慧无不佩服得五体投地.
“悟空，这个游戏的秘密为师早就看出来了.”
欲知唐僧是如何看出游戏秘密的？请看下回分解.
