0/0，∞/∞的极限到底是什么解？图解洛必达法则！

上式中就是典型的 0/0 形式。

洛必达法则（法语：Règle de L'Hôpital，英语：L'Hôpital's rule）是利用导数来计算具有不定型的极限的方法，由瑞士数学家约翰·伯努利所发现。

维基百科

定义：若两函数 f(x), g(x)在以 x = c 为断点的开区间可微，并且 g'(x) ≠ 0。

洛必达法则

为了说的明白些，我们先构造两个函数 f(x) = x - 1 和 g(x) = -cot(πx/2)。

图1：洛必达法则（一）

上图可以看出，在 x = 1 处，f(1) = g(1) = 0。

让我们稍作变换：

推导过程

那么，怎么去找一个简单的解释去理解这个概念呢？最后，我还是想结合物理知识对洛必达法则进行解释。

图2：洛必达法则（二）

我们再一次请出红蓝小球进行赛跑。这一次的跑道已经规定好了。

假设红色和蓝色曲线分别为红蓝小球 距离~时间 的关系曲线。

这时候，我们回过头来看：

• f(x) 即表示为 蓝球 相对于 x轴 的距离；
• g(x) 即表示为 红球 相对于 x轴 的距离；

那么，f(x) / g(x) 则是蓝、红小球在 相同时间 内运动的距离比。

距离 = 平均速度 * 时间

所以，f(x) / g(x) = 蓝球平均速度 / 红球平均速度

在上例中，洛必达法则可以理解为我们需要找到在 x = 1 附近的极短时间 dx 内的平均速度比。

引入积分无限分割的思想：

时间段 x ~ x dx 内，平均速度 = 时间点x的瞬时速度；

知道这层关系之后，我们在来看两个小球赛跑的过程。

开始时，红球距离 x轴 比蓝球远很多；随时时间越来越靠近 x = 1，红球迎头赶上并同时到达。

也就是说，在 x = 1 时刻，红色和蓝色小球所处的位置是一样的，但是内在状态是不一样的。就如同奥运短跑冠军和你我同处起跑线，但是奥运冠军体内定然有着超越你我的瞬时爆发力。

微积分的学习过程可以体会很多人生道理。比方说 A: f(x) 和 B: g(x) 的人生走到了尽头，回顾一生。

f(x) / g(x) : 表示一生的成就比较，由于A和B年龄相仿，f(x) / g(x)也可以理解为 一生中 A 和 B的平均努力程度，假设A是世界首富，B只是工薪阶层。那么，我们可以总结A的平均努力程度一定大于B。

但是，当我们将时间定格在人生的某一个节点上的时候，lim( f(x) / g(x) )，结果则未可知。

• 有的人晃荡半生，一朝开窍，发愤图强。
• 有的人顺风顺水，不思进取，逐渐沉沦。

那么，洛必达法则是不是可以理解为，任何时候努力都来得及，只要你还活着呢！

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洛必达此人严格意义上说是一个“没有天赋，但是异常努力的数学家”。他出生在法国中世纪的贵族家庭，酷爱数学，师承大名鼎鼎的伯努利。但终其一生并没有实质性成果。

据传，洛必达法则其实是洛必达的老师伯努利的学术论文。由于伯努利生活落魄，学生洛必达就提出了金钱换知识产权的方案，成功从伯努利那买到了洛必达法则。这一交易如果属实，那伯努利着实亏大发了。

同时，洛必达曾语出惊人，他说：“

人这辈子一共会死三回：

第一次是你的心脏停止跳动，生物学角度上的死亡；

第二次是在葬礼上，认识你的人都来祭奠，社会关系和地位角度的死亡；

第三次是最后一个记得你的人死后，真正的死亡；

”

想来确实很有道理，之前看过一部电影叫：Coco。

人死后的灵魂会在世上最后一个记得你的人死后而消失，或许编剧的灵感来源于洛必达吧。

这次扯得有点多。

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