有一群好友若干，每个好友都分别给其他好友握手一次，最后共握手1980次，请问这群好友共有多少人？
章末复习(一) 一元二次方程
01 基础题
知识点1 一元二次方程及其相关概念
1．(诏安模拟)已知m是方程x2－x－1＝0的一个根，则代数式m2－m的值等于(C)
A．－1 B．0 C．1 D．2
2．方程(a－2)xa2－2＋3x＝0是关于x的一元二次方程，则a的值为－2．
知识点2 一元二次方程的解法
3．(宁夏中考)一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是(D)
A．－1 B．2 C．1和2 D．－1和2
4．(随州中考)用配方法解一元二次方程x2－6x－4＝0，下列变形正确的是(D)
A．(x－6)2＝－4＋36 B．(x－6)2＝4＋36
C．(x－3)2＝－4＋9 D．(x－3)2＝4＋9
5．(深圳校级模拟)一元二次方程4x2－x＝1的解是(D)
A．x＝0 B．x1＝0，x2＝4
C．x1＝0，x2＝ D．x1＝，x2＝
6．解下列一元二次方程：
(1)(2x＋3)2－81＝0；
解：(2x＋3)2＝81.
x1＝3，x2＝－6.
(2)x2－6x－2＝0；
解：(x－3)2＝11.
x1＝3＋，x2＝3－.
(3)5x(3x＋2)＝6x＋4.
解：(3x＋2)(5x－2)＝0.
x1＝－，x2＝.
知识点3 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
7．(湘西中考)下列方程中，没有实数根的是(B)
A．x2－4x＋4＝0 B．x2－2x＋5＝0
C．x2－2x＝0 D．x2－2x－3＝0
8．(张家界中考)若关于x的一元二次方程kx2－4x＋3＝0有实数根，则k的非负整数值是(A)
A．1 B．0，1 C．1，2 D．1，2，3
9．(怀化中考)设x1，x2是方程x2＋5x－3＝0的两个根，则x＋x的值是(C)
A．19 B．25 C．31 D．30
知识点4 用一元二次方程解决实际问题
10．一个QQ群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息1 980条，则可列方程(B)
A.x(x－1)＝1 980 B．x(x－1)＝1 980
C.x(x＋1)＝1 980 D．x(x＋1)＝1 980
11．(东营中考改编)2015年东营市某楼盘以每平方米6 500元的均价对外销售．因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2017年的均价为每平方米5 265元．
(1)求平均每年下调的百分率；
(2)假设2018年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？(房价每平方米按照均价计算)
解：(1)设平均每年下调的百分率为x，根据题意，得6 500(1－x)2＝5 265.
解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不合题意，舍去)．
答：平均每年下调的百分率为10%.
(2)如果下调的百分率相同，2018年的房价为
5 265×(1－10%)＝4 738.5(元/平方米)．
则100平方米的住房的总房款为100×4 738.5＝473 850(元)＝47.385(万元)．
∵20＋30＞47.385，∴张强的愿望可以实现．
02 中档题
12．(安顺中考)三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长为(B)
A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对
13．(安顺中考)若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过第象限(D)
A．四 B．三 C．二 D．一
14．已知x＝1是关于x的方程(1－k)x2＋k2x－1＝0的根，则常数k的值为0或1．
15．(日照中考)如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2－m＝3，n2－n＝3，那么代数式2n2－mn＋2m＋2 015＝2_026．
16．(南充中考)已知关于x的一元二次方程x2－6x＋(2m＋1)＝0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2＋x1＋x2≥20，求m的取值范围．
解：(1)根据题意，得Δ＝(－6)2－4(2m＋1)≥0，
解得m≤4.
(2)根据题意，得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1，
而2x1x2＋x1＋x2≥20，
所以2(2m＋1)＋6≥20，解得m≥3，
而m≤4，
所以m的范围为3≤m≤4.
17．小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1 200元．请问她购买了多少件这种服装？
解：设购买了x件这种服装，根据题意，得
[80－2(x－10)]x＝1 200，解得x1＝20，x2＝30.
当x＝30时，80－2×(30－10)＝40(元)＜50元，不合题意，舍去．
∴x＝20.
答：她购买了20件这种服装．
18．阅读下面例题的解答过程：
解方程：3(x－2)2＋7(x－2)＋4＝0.
解：设x－2＝y，则原方程化为3y2＋7y＋4＝0.
∵a＝3，b＝7，c＝4，∴b2－4ac＝72－4×3×4＝1.
∴y＝＝.∴y1＝－1，y2＝－.
当y＝－1时，x－2＝－1，∴x＝1；
当y＝－时，x－2＝－，∴x＝.
∴原方程的解为x1＝1，x2＝.
请仿照上面的例题解一元二次方程：2(x－3)2－5(x－3)－7＝0.
解：设x－3＝y.则原方程化为2y2－5y－7＝0.
∵a＝2，b＝－5，c＝－7，
∴b2－4ac＝(－5)2－4×2×(－7)＝81.
∴y＝＝.∴y1＝－1，y2＝.
当y＝－1时，x－3＝－1，∴x＝2；
当y＝时，x－3＝，∴x＝.
∴原方程的解为x1＝2，x2＝.
03 综合题
19．某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26米．
(1)为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？
(2)如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？
解：(1)设垂直于墙的一面长为x米，平行于墙的一面长为(26＋2－2x)米，由题意，得
x(26＋2－2x)＝80，
整理，得x2－14x＋40＝0，解得x1＝4，x2＝10.
当x1＝4时，26＋2－2x＝28－8＝20>12，不合题意，舍去；
当x2＝10时，26＋2－2x＝28－20＝8<12，符合题意．
答：垂直于墙的一面长为10米，平行于墙的一面长为8米．
(2)设小路的宽度为a米，由题意，得
(10－a)(8－2a)＝54.
整理，得a2－14a＋13＝0，解得a1＝13，a2＝1.
经检验：a2＝1符合题意．
答：小路的宽度为1米．
