“小明，你数学学得好，你来切蛋糕吧。”
“没问题，我马上……”
“我不是很饿，给我最小的那块吧。“
“好.....”
“哦，对了，小珍不吃草莓，她那块不要有草莓啊。”
“这……”
“还有，小周对覆盆子过敏。”
“……”
“还有，小莉不爱吃巧克力.....”
***
晚饭吃完了，该吃蛋糕了。切蛋糕这个重任落到了你的身上。如果你用几何知识把蛋糕小心地切成完全相等的几块分给朋友们，那会儿大家肯定会抱怨:“我这块全是硬皮，这不算啊!”“不公平啊，她那块巧克力比我这块多。”“我这块怎么都是草莓啊?我不吃草莓!”
你还是承认了吧，这蛋糕切得太随意了，没有考虑到每个人的不同要求！为了让大家都满意，不管是切蛋糕，还是切披萨、千层饼、巧克....不能一个人说了算。那该怎么办呢?这个问题在20世纪50年代就开始讨论了，许多数学家都做出了自己的贡献。上一章分披萨的问题只是几何问题，这里分蛋糕的问题则属于博奔论的范畴——每个人都想拿到自己认为最好的那块。
假设有N个客人来分这块蛋糕，我们将他们从1到N编号，记为客1、客2，……，客N。每个人想要的不一样：巧克力多的那块对客1来说可能没什么价值，因为他不喜欢巧克力，但对客2来说就很好，因为他喜欢巧克力。每个人都能选出自己觉得最好的那块，而且，每个人也都能把蛋糕分成自己看来等值的几块。
假设每个人都按“自己的价值观”给每块蛋糕从0到1评分，比如一块什么也没有的蛋糕分数为0，整个蛋糕分数为1。如果评分为0.5，则意味着这块蛋糕的价值为总体的一半，而不是分量为总体的一半。评分可以相加，比如两块评分为0.21的蛋糕加在一起，就成为一块评分为0.42的蛋糕。每个人的评分标准不一样，有人喜欢荔枝，有人不喜欢，那么对喜欢的人来说，荔枝越多评分越高，而对不喜欢的人来说，则是荔枝越少评分越高。
按各自标准，每个客人拿到的那块蛋糕至少应是1/N，即“可接受”的结果，这样才能算公平。我们假设大家不清楚彼此的喜好，只想自己那块蛋糕的价值尽量高。毕竟，这只是分蛋糕，不是炒股，做出选择不会产生风险。如果事先故意切出很大一块， 希望别人能让给我，那肯定是不行的。完全公平分配，让每人拿到的那块蛋糕按自己的标准都恰好是1/N,这是最难实现的。但是，每人都拿到一块价值高于1/N的蛋糕，这是完全可以实现的，如图5.1中的(f)。
图5.1分水果蛋糕
分水果蛋糕的时候，每个人都有自己的喜好，一个人觉得公平，另一个人则不一定。假设这个水果蛋糕中有菠萝、奇异果、橙子、樱桃。每个人都有自己的喜好。
客1喜欢菠萝，所以他的评分要根据菠萝的多少来定。在他看来，切法(a)是公平的，因为每一块的菠萝数量相等，评分都是1/5。假设客2、客3、客4、客5分别偏爱奇异果，橙子、樱桃和蛋糕底，所以分法(b)、(C)、(d)、(e)在他们各自眼中也是公平的，每一块的评分也都是1/5。
最后一种切法（f）对所有人来说都公平，因为按各自标准，每人分到的蛋糕评分都超过1/5。 比如，客1喜欢菠萝，他拿到的虽然不是菠萝最多的一块(客3那块有将近7片菠萝)，但客1的评分也有6/25，这意味着，这块蛋糕所含菠梦超过总数的1/5 。
两人分:我切你选
第一种情况: 一对情侣宅在家，想要分享香甜的杏仁泡美蛋糕。这可是高级甜品店的招牌蛋糕，不能儿戏。怎么分才能让两人都开心呢?其实很简单，用“我切你选”的方法就好。
第一步：客1把蛋糕切成自己认为等值的两块。
第二步：客2从中选自己认为更好的一块，另一块给客1。
如果客1把蛋糕切得一大一小，而客2选了大的那块，那客1也只能自认倒霉。当然，如果你的那个他(她)自愿把大的那一块让给你，就另当别论了。既然占了好处，就别抱怨这方法不管用了。
三人分：我切你们选
第二种情况：与好哥们儿分蛋糕。你请两个好友来家里分享橄榄蛋糕，但他们和你一样都想狮子大开口，拿一块最大的，这该怎么办呢? 1943 年，提出过一则泛函分析定理的胡戈·施泰因豪斯第次确立了三人分配法。
第一步，客1把蛋糕切成他认为等值的三块。
第二步，客2看一下这三块，并有以下两种选择:
☼如果看到至少有两块可接受的蛋糕，那就先不拿；此时，按客3、客2、客1的顺序选蛋糕;
☼如果有两块不能接受，就把这两块标为“差”。
第三步，如果客2将两块标为“差”，那么此时客3也有两个选择：先不拿或者将两块标为“差”。 如果客3决定先不拿，那就按照客2、客3、客1的顺序选蛋糕。
第四步，如果客2和客3都选择做标记，那客1就要必须拿同时被客2和客3标为“差”的那一块(或两块之一)。
第五步，此时还剩下两块蛋糕，我们把两块合成一块 (考验你烘焙技艺的时候到了)。客2和客3用“我切你选”法来分：客2把合成一体的新蛋糕切成自认为等值的两块，客3从中选块，剩下那块归客2。
如果大家都理性行事，每个人拿到的那块蛋糕都将是可接受的选择。客1总是最后选的那个人，所以他在一开始切的时候就要尽量均衡。第二步时，客2在保证能拿到可接受选择的情况下，才会决定先不拿。如果他选择做标记，那无论客3怎么选择，他最后都能拿到可接受的蛋糕。总之，按照这种方法，每个人都满意。
N人分：每人一刀法
第三种情况：朋友们一起玩桌上游戏《龙与地下城》。3个小时之后，法师死了，大家刚好借机休息一下。主人做了他最拿手的布列塔尼蛋糕。聪明如你，一定会用巴拿赫和克纳斯特在1944年提出的分配法，以保证分配公平。
第一步，客1从蛋糕中切出自认为价值1/N的 一块， 我们称之为P。
第二步，客2有两种选择：
☼如果他认为这块不可接受，就什么都不做；
☼如果他觉得可接受，就把P再切小一点， 但依然保持可接受的状态，即其价值对客2来说至少是1/N。
第三步到第N步，其他所有人，即从客3到客N。都做出同样的选择——要么什么都不做，要么把P再切小一点，这样P会越来越小，最后一个选择切小的人可以把它拿走，然后回到第一步：把剩下的蛋糕合在一起，剩下的N-1人人重复以上过程，直到最后剩下2人，用“我切你选”法即可。
最后，每个人都能得到自认为价值1/N 的蛋糕，因为那是自己切的。当然，每人一刀，蛋糕最后会不会被切成渣，那就说不好了。下次还是少放点梅子吧....
N人分：你喊我停法
第四种情况：你的婚礼。切蛋糕是婚宴的重头戏。亲朋好友都来祝福你们，更想尝尝蛋糕好不好吃。40 个客人要公平分配，这可不能儿戏。根据传统，只能由新郎和新娘来切，千万不能像上个例子中那样，宾客每人一刀把蛋糕切成渣。
1961年，杜宾斯和斯帕尼尔提出了一种分配法，用在这种场合再合适不过，因为掌刀的只有一人，而且能保证每人拿到的都是1/N。与之前的例子不同，这种方法不是一步一步进行的，即“离散”方法，而是所有人同时进行选择，即“连续”方法。
新郎和新娘举起刀，在蛋糕上慢慢划过，如果有人觉得够了(可接受)，就喊停，新郎和新娘就把这块切给他， 剩下的客人继续。 最后剩下的两个不知足的人——如此不懂礼节。一定是夫妻俩——用“我切你选”法即可。采用这种方法可不能贪心，不然该轮到你的那块就被别人拿走了。
三人分：不吃亏
第五种情况：孩子们吃点心。考验你的时候到了，要给三个孩子分奶油布丁。孩子们可不在乎公平不公平，他们只想着自己的那块不能比别人小！
这不再是公平分配的问题，不是要让每块都大于等于1/3，而是要让大家都觉得自己没吃亏，都能拿到自认是最好的那块。两人分用“我切你选”法肯定没问题，但施泰因豪斯的三人分配法就会有问题了。幸好有塞尔弗里奇-康威法。塞尔弗里奇于1960年发现了这一方法但未发表，20世纪90年代由康威再次提出。这方法弥补了施泰因豪斯方法的不足：
第一步，客1把蛋糕切成自认为等值的3块。
第二步，客2有两个选择：
☼如果最大的两块在他看来是一样的，那就什么都不做；
☼如果最大的两块在他看来不一样， 那就从更大那块切去部分，让这两块一样大。切下来的这部分我们称作M，先放在边。
第三步，按客3、客2、客1的顺序选择蛋糕，但要遵循一个规则：如果客2在第二步中切了一刀，那他切过的这块如果客3没有拿，则客2必须拿。
第四步，第二步中客2切过的那块要么归了客2，要么归了客3。我们把拿到这一块的人称作客N，另外一人称作客C。由客C把小块M切成自认等值的3块，按客N、客1和客C的顺序各选一块。
听起来有点绕，但按照这种方法，每个人都不会觉得自己吃亏。第三步之后，客1会拿到自己一开始切出的3块中的一块，也就是1/3。因为按照规则，如果客2在第二步把其中一块切小了，那这块要么归客2，要么归客3。客3第一个选，肯定会选自己觉得最大的那一块，他不会觉得吃亏了。客2把自己看来最大的两块切成一样大，且拿到了其中一块。三步之后谁都不会觉得吃亏。多出来的M部分怎么办呢？从客1的角度说，他拿到的那块已经比客N那块大出M，而与客C拿到那块相等，所以在选择M切出来的3块时，虽然客N先选，但不管他选哪一块，在客1看来自己还是不吃亏。
有了这些方法，不管有多少朋友，不管是什么蛋糕，都能公平分配。这里就不讨论N个人分蛋糕时如何既让所有人都觉得不吃亏，也不会把蛋糕毁掉了，因为这个问题到今天也没有解答！此外，假如还有分黄瓜派的问题，恐怕这时每个人都想要最小的那块.....
“切好啦，感谢巴拿赫和克纳斯特，蛋糕完美分配。大家都满意吗?”
“还行，确实分得很公平。不过我刚看到的明明是摩卡蛋糕，怎么碎成酥粒蛋糕啦?”
* 文章摘选自科普读物《数学也荒唐：20个脑洞大开的数学趣题》，[法]杰罗姆·科唐索著，王烈译，人民邮电出版社，2017.8。
------------------------------------
你想在情人节好好地表白心意？
你想彻底解决人类婚姻中的出轨问题？
你想苦练三个月网球就打败德约科维奇？
你想在《地产大亨》游戏里狠狠赚一笔？
这本数学书献给所有人20场数学喜剧，你从中一定能得到灵感。
终于有人认真研究如何用数学对付生活中的荒唐事了。你还在问“数学有何用处”吗？这是因为你的想象力还不够大。代数、概率、统计、几何、拓扑……书中令人捧腹的离奇问题，让貌似严肃而艰涩的数学变得既狡猾又幽默。
数学荒唐起来，有谁能拦得住？
好玩的数学
*mathfun
↑
好玩的数学以数学学习为主题，以传播数学文化为己任，以激发学习者学习数学的兴趣为目标，分享有用的数学知识、有趣的数学故事、传奇的数学人物等，为你展现一个有趣、好玩、丰富多彩的数学世界。
↓
点阅读原文，购买《数学也荒唐》。
