传说古代有位开国的国王，将掠夺来的一大批金银宝物藏在一个荒岛地下岩洞里。老国王临终前告诉新国王说要想找到宝藏必须先宝藏的洞口，洞口在地下数十米深处，因此需要先找到洞口地上位置，要想找到洞口的地上位置，必须先找到岛上一口枯井和两棵大树，然后从枯井出发走到左前方的大树底下，到达大树底下后向右转，再往前走，走的步数与枯井到这棵树底下的步数相等，作个记号；然后再回到枯井，从枯井出发走到右前方的大树底下，到达大树底下后向左转，再往前走，走的步数与枯井到这棵大树底下的步数相等，再作个记号，这两个记号之间中点处的下方就是宝藏洞口。
老国王过世后，新国王带领卫队来到荒岛。
这是一座神秘的荒岛，岛上杂草丛生，灌木横陈，怪石嶙峋，阴森恐怖.走遍全岛的确发现有两棵参天古树遮天蔽日，但找遍岛上各个角落也没发现枯井的痕迹。一连几天，新国王和他的卫队总是信心满满而去，怏怏空手而归.
不知不觉，新国王也老了，他临终前又把荒岛宝藏一事传给了新国王，新国王依然是找不到枯井只好作罢。
又过了数百年，新老国王不知替换了多少代也没有找到宝藏洞口的位置，倒是岛上有宝藏及其寻找宝藏洞口的口诀流传了开来，方圆数百里家喻户晓，男女老少人人皆知"枯井此去左树下，右转向前同步划；枯井此去右树下，左转向前同步划；两步终点连成线，此线中点往下挖。"
口诀人人会念，但就是找不到枯井始终无人知道宝藏洞口的位置。
荒岛有宝藏却没人找得到的消息传到了附近一个数学爱好者耳里，他不信找不到枯井就无法找到宝藏的传说。在一个秋高气爽的星期日，这个数学爱好者领着一帮好友带着工具登上了荒岛，正如传说的一样，岛上荒芜得连鸟声都没有，阵阵山风吹来，令人不寒而栗.
一开始他们一行也是努力寻找枯井，众人披荆斩棘，踏遍岛上每寸土地，直到日已偏西仍然不见枯井的踪迹，只见在如图1的点P、Q处两棵古老的大树遮天蔽日，迎风而立。
"会不会是老国王岁数大了记忆力不好记错了？"大家开始怀疑第一个老国王的话，"也许岛上根本就没有什么枯井."
"是啊，看着荒岛遍处是岩石灌木野藤，土质贫瘠根本种不了庄稼。"大家越说越觉得老国王的话有假，"种不了庄稼挖井干嘛呢？"
这位数学爱好者听了大家的话突然灵光一闪，他坐在离大树不远的点M处一块石头上思考着这样一个问题：荒岛上确实是不存在枯井的，而假设确有宝藏存在，那无非说明了这样一个事实：宝藏的洞口位置与枯井的位置无关，枯井只是老谋深算的老国王虚设的"障眼"法.
大家在大石头上坐下来开始讨论、琢磨着：从枯井出发到左边、右边大树的路线是一条不确定的直线；从大树出发向右转、向左转的路线也是一条不确定的路线。因此，按照口诀所走路线的两个终点位置也是不确定的，从而经过这两个终点的线段也是不确定的，而如果确有宝藏，那么不管从哪一点出发按照口诀走出来的另个终点连线的中点应该是同一个点。否则，即使老国王健在，他也是无法找到他亲自埋藏的宝藏。
想到这，这位数学爱好者马上想到了这个问题与几何中不确定的直线却经过确定的点之类的问题非常的相似。于是，一个寻宝的方案终于形成了.
数学爱好者亲自行动，为了更加准确地按照口诀进行寻找，他和大家用带来的皮尺进行度量，结果得出了如图2的如下信息：
∠MPA=90°，且MP=PA；∠MQB=90°，且MQ=QB，O是AB的中点。
按照传说中的口诀，点O的底下就是宝藏的洞口。
最后，这帮人终于找到宝藏的洞口，进了洞内，找到的所谓宝藏却仅是一本《几何》古书,其中记录着这样一个几何难题：
如图3，已知P、Q是两个定点，M、N是不重合的两个动点，连接MP，作∠MPA=90°，且PA=PM；连接MQ，作∠MQB=90°，且QB=QM；连接NP，作∠NPC=90°，且PC=PN；连接NQ，作∠NQD=90°，且QD=QN。连接AB、CD，求证：AB、CD互相平分。
证明：连结AC、CB、BD、DA和MN.
在△PAC与△PMN中，
因为∠MPA=∠NPC=90°，
即∠APC ∠APN=∠MPN ∠APN，
所以∠APC=∠MPN，
又PA=PM，PC=PN，
所以△PAC≌△PMN（SAS），
所以AC=MN，∠PAC=∠PMN；
同理，BD=MN，∠QDB=∠QNM，
所以AC=BD；
由周角360°，得：
∠CAD=360°-（∠PAC ∠PAD），
∠ADB=360°-（∠QDB ∠ADQ），
所以∠CAD ∠ADB
=720°-（∠PAC ∠PAD ∠QDB ∠ADQ）
=720°-（∠PMN ∠PAD ∠QNM ∠ADQ）
=720°-（720°-∠MPA-∠NQD）
=∠MPA ∠NQD=90° 90°=180°，
所以AC∥BD，
所以四边形ACBD是平行四边形，
所以AB、CD互相平分.
